Вариант № 12

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Следовательно, . Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд сообщим членом сходится так как . Тогда сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Ряд Сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Применим признак д, Аламбера:

. Этот ряд сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

(степени многочленов одинаковые). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Он сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , сходящийся по признаку Лейбница. При получим числовой ряд . Так как (тангенс убывает, а наибольшее значение имеет при ), то данный ряд сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с расходящимся рядом (известно, что ). При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известнымразложением корня кубического:

. Этот ряд сходится при условии . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении квадратного корня положим , получим: Или . Ряд сходится, если или .

Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим , получим: . Тогда . При ряд сходится в соответствии с признаком Лейбница. Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим здесь . Получим . Тогда . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять четыре первых слагаемых: . Ответ:

Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то . Кроме того, . Следовательно,

. Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, .

Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : . Следовательно, Тогда . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: , вторую сумму – в виде , третью сумму – в виде . Тогда . Объединим все суммы: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, .