Вариант № 17

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Но ряд сходится, так как является бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

.

Следовательно, ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Общий член ряда равен . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем (известно, что ). Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Исходный ряд является знакочередующимся рядом и удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, а общий член ряда по абсолютной величине стремится к нулю. Рассмотрим ряд . Этот ряд расходится, так как , а гармонический ряд расходится. Таким образом, абсолютной сходимости исходного ряда нет. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим радикальный признак Коши к ряду :

. Раскроем предел по правилу Лопиталя: . Предел равен нулю, если , и равен бесконечности, если . Чтобы ряд сходится, необходимо, чтобы выполнялось неравенство , т. е. . Или . Следовательно, интервал является областью сходимости данного ряда.. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости (старшая степень в числителе выше старшей степени знаменателя). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при или . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество , где .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известнымразложением корня квадратного:

. Этот ряд сходится при условии . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении квадратного корня положим , получим: Или . Ряд сходится, если или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим , получим: . При получим ряд , который расходится, являясь частью гармонического ряда. Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим здесь . Получим . Тогда . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Так как , то достаточно взять два первых слагаемых: . Ответ: .

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как и , то

. Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через . Преобразуем ряд: . Так как и , то .

Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Таким образом, .

Ответ: .

Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

По графику определяем .

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, . Ответ: .

: . Таким образом, . Ответ: .

Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье: . Из таблиц находим (при ): . Аналогично, . Таким образом, .

Ответ: .

21. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

22. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье имеет вид , где . Вычисляем функции и : . . Тогда

.

. Ответ: .

23. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:

.

Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где . Вычислим : . Таким образом, . Ответ: .

< Предыдущая		Следующая >