Вариант № 09

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что , так как всегда . Но ряд с общим членом расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом: . Тогда расходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Так как , то . Применим признак д, Аламбера к ряду с общим членом :

(степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя). Этот ряд сходится, следовательно исследуемый ряд также сходится по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится, так как , а является общим членом бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая сходится к своей сумме. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно.

Ответ: Ряд сходится абсолютно.

Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Ряд знакоположительный. Применим признак д, Аламбера к этому ряду: (предел отношения двух многочленов одинаковых степеней). Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим один и тот же числовой ряд , который сходится по признаку сравнения (в предельной форме) со сходящимся рядом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Так как , то . Применим признак д, Аламбера к ряду с общим членом : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, по первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится (по теореме Лейбница). При получим числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом (поскольку при ). Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится на всей числовой оси: . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении экспоненциальной функции положим , получим: Или . Ряд сходится при.

Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Подставим в этот ряд Тогда и . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . Таким образом, В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Поэтому достаточно взять два слагаемых: . Ответ: .

Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Преобразуем предел . Так как , то

Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно,

Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Таким образом, .

Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обесуммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, .

Ответ: .

Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является нечётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, . Ответ: .

Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье: так как функция чётная, то все ; . Из таблиц находим (при ): . Таким образом, . Ответ: .