Вариант № 10

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд расходится так как . Тогда расходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

(степень многочлена числителя ниже степени многочлена знаменателя). Следовательно данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Это знакочередующийся ряд. Он сходится в соответствии с теоремой Лейбница. Рассмотрим теперь ряд . Применим интегральный признак Коши. Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл расходится, следовательно, расходится и ряд с общим членом . Таким образом, исходный ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд . Он сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом . При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости. При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим один числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом (известно, что . При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится при . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении логарифмической функции положим , получим: Или . Ряд сходится при или .

Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой . Положим здесь . Получим . Тогда . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Следовательно, достаточно взять два первых слагаемых: . Ответ:

Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Преобразуем предел

. Так как , то

. Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда .

Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно,

Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Найдём : . Таким образом, . Ответ: .

Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция чётная, то все . Вычислим . . Из таблиц находим (при ): . Следовательно, если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда нечётным значениям соответствуют числа . Таким образом, . Ответ: .