Вариант № 08

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд сообщим членом сходится так как . Тогда сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Следовательно, исследуемый ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Применим признак д, Аламбера:

Этот ряд сходится. Следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Он сходится по теореме Лейбница, так как общий член ряда стремится к нулю, а по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают. При получим знакоположительный числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Более того, не выполняется необходимый признак сходимости: члены ряда сначала убывают, затем после начинают возрастать, так как . Ряд расходится при любых значениях , следовательно, область сходимости данного ряда является пустой.

Ответ: Областью сходимости ряда является пустое множество: .

Определить область сходимости функционального ряда: .

Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится (по теореме Лейбница). При получим числовой ряд , который расходится, так как при .

Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Известно, что . Функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , при условии , - знаменатель прогрессии. Положим . Получим ряд: . Тогда . Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только , или . Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область . Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим сначала , затем , получим: , . Оба ряда сходятся при Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . Таким образом, В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Поэтому достаточно взять два слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Преобразуем предел . Так как , то

. Ответ: .

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, .

Ответ:

Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , Следовательно, . Ответ: .

Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Разложение в функции в ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : . Таким образом, , если нечётное и , если чётное. Положим . Тогда для чётных получим Вычислим : . Таким образом, . Ответ: .

Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Так как функция чётная, все . Вычислим : . Из таблиц находим (при ): . Таким образом, , если нечётное и , если чётное. Положим . Тогда для чётных получим . Таким образом, .