Вариант № 07

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Функция является ограниченной функцией, т. е. . Следовательно, . Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд сходится так как . Тогда сходится и ряд с общим членом по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Следовательно, . Но ряд с общим членом сходится по признаку д, Аламбера: . Тогда сходится и исследуемый ряд по первому признаку сравнения. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл расходится, следовательно, расходится и данный ряд. Ответ: Ряд расходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Сравним этот ряд со сходящимся рядом с общим членом (общий член имеет структуру , где ): . Этот ряд сходится, следовательно, исследуемый ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

Определить область сходимости функционального ряда: .

Ряд знакоположительный. Применим признак д, Аламбера:

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим гармонический ряд , который расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости. При получим числовой ряд , который расходится по тому же признаку.

Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Это знакочередующийся ряд, так как . Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим один и тот же знакочередующийся числовой ряд , который сходится условно (по теореме Лейбница). Ответ: Областью сходимости ряда является множество .

8 Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости:

Воспользуемся известнымразложением корня квадратного:

. Этот ряд сходится при условии . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении квадратного корня положим , получим: Или . Ряд сходится, если или .

Ответ: .

Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . Таким образом, В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Поэтому достаточно взять четыре слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как и , то

. Ответ:

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, .

Ответ:

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : , если , и . Если чётное, то и , если нечётное. Положим . Для нечётных получим Следовательно, .

Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Функция является чётной, поэтому все . Найдём : . Из таблиц находим (при ): . Таким образом, .