Вариант № 05
Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Известно, что ряд с общим членом сходится при
и расходится при
. Ряд
сходится так как
. Тогда сходится и ряд с общим членом
по признаку сравнения в предельной форме:
. С другой стороны, для общего члена исследуемого ряда при всех
справедливо неравенство
. Следовательно, по первому достаточному признаку сравнения исследуемый ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.
Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Применим признак д, Аламбера:
. Следовательно, ряд расходится. Ответ: Ряд расходится
Исследовать числовой ряд на сходимость: .
Имеем . Функция
удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно,
монотонно убывает на интервале
и, следовательно, интеграл
и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем
. Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.
Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .
Рассмотрим ряд . Известно, что ряд с общим членом
сходится при
и расходится при
. Этот ряд расходится, так как
. Исследуемый ряд является знакочередующимся рядом:
Он удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, т. е.
. Кроме того,
при
. Следовательно, исходный ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.
5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду с положительными членами
:
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
. Или
. Следовательно, интервал
является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При
и
получим один и тот же знакочередующийся числовой ряд
. Он сходится по теореме Лейбница, так как общий член ряда стремится к нулю, а по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к ряду :
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
, т. е.
или
. Следовательно, ряд сходится при
. Исследуем ряд на концах интервала. При
получим знакочередующийся числовой ряд
. Заметим, что ряд
сходится. Тогда сходится и данный ряд, так как
. При
получим числовой ряд
, который сходится по той же причине. Ответ: Областью сходимости ряда является множество
Определить область сходимости функционального ряда: .
Применим признак д, Аламбера к данному ряду:
. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы:
, т. е.
. Следовательно, ряд сходится при
и
или
и
, где
. На концах интервала получим один и тот же ряд
, который (как известно) сходится.
Ответ: Областью сходимости ряда является множество и
, где
.
8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости:
.
Воспользуемся известным разложением функции :
. Этот ряд сходится при
. Преобразуем исходную функцию:
. В записанном выше разложении логарифмической функции положим
, получим:
Или
. Ряд сходится при
или
.
Ответ: .
Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости:
.
Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции
в ряд Маклорена:
. Этот ряд сходится при
. В этот ряд подставим
, получим:
. Тогда
. Областью сходимости ряда будет
. Ответ:
,
.
10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .
Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется
, т. е.
. Таким образом,
В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем
. В данном случае
. Так как
, то достаточно взять четыре слагаемых:
. Ответ:
11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .
Преобразуем предел . Так как
, то
.
Ответ:
12. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда .
Но
есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при
. Следовательно,
. Ответ:
.
13. Найти сумму ряда:.
Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда
. Но
есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при
. Следовательно,
.
Ответ: .
14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Будем искать решение уравнения в виде , где
. Будем последовательно вычислять производные
:
,
. Следовательно,
. Ответ:
.
15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:
Ищем решение уравнения в виде . Тогда
. Подставляя это в исходное уравнение, получим:
. Первую сумму можно записать в следующем виде:
. Тогда
. Объединим обе суммы, выделяя «лишнее» слагаемое:
. Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е.
и
. Отсюда получаем рекуррентную формулу:
Следовательно,
. Воспользуемся начальными условиями:
. Получим:
. Таким образом,
.
Ответ: .
16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:
По графику определяем
.
Разложение функции в ряд Фурье имеет вид:
, так как период равен 2. Вычислим коэффициенты
:
. Вычислим коэффициенты
:
,
. Следовательно,
, если
чётное и
, если
нечётное. Положим
для коэффициентов
. Тогда для нечётных
получим
Таким образом,
.
Ответ: .
17. Разложить функцию в ряд Фурье на :
Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье. Функция чётная, поэтому все
:
. Из таблиц находим (при
):
. Таким образом,
. Ответ:
.
18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на :
.
В комплексной форме ряд Фурье функции периода
имеет вид:
где
. В данном случае
. Таким образом,
. Ответ:
.
19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где
. Заданная функция является чётной и, следовательно,
. Таким образом,
.
Ответ:
20. Функцию представить интегралом Фурье в комплексной форме:
.
Представление функции интегралом Фурье в комплексной форме имеет вид , где
. Вычислим
:
. Таким образом,
.
Ответ:
< Предыдущая | Следующая > |
---|