Вариант № 04

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Заметим, что . Последнее неравенство справедливо в связи с тем, что для всех . Таким образом, общий член данного ряда не превосходит общего члена гармонического ряда, который расходится. Следовательно, по первому достаточному признаку сравнения данный ряд также расходится. Ответ: Ряд расходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Для общего члена этого ряда выполняются неравенства . Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд с общим членом сходится. По первому признаку сравнения сходится и ряд с общим членом . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Он сходится по теореме Лейбница, так как общий член ряда стремится к нулю, а по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают. При получим знакоположительный числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом с общим членом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к этому ряду: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или и . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим числовой ряд , который сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом с общим членом . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к этому ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Это условие выполняется, если . При получим числовой ряд . Этот ряд расходится, так как общий член ряда превосходит по величине общий член гармонического ряда, который расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известным разложением функции :

. Этот ряд сходится на всей числовой оси: . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении экспоненциальной функции положим , получим: Или . Ряд сходится при.

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Преобразуем данную функцию: . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим сначала , затем , получим: , . Первый ряд сходится при , второй – при Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае

. Слдовательно, достаточно взять два слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , а , то . Ответ: .

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно,

Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Следовательно, , если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда для нечётных получим Таким образом, . Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье: . Из таблиц находим (при ): . Аналогично, . Таким образом, .

Ответ: .

18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, .

Ответ: .

19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где . Заданная функция является нечётной и, следовательно, . Таким образом, .