Вариант № 03

1. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Поскольку функция является монотонно убывающей на интервале ( при ) и стремится к нулю при , то можно применить интегральный признак Коши (заметим, что ): (предел вычислен по правилу Лопиталя). Так как данный несобственный интеграл сходится, то сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера: (степень в числителе меньше степени знаменателя). Следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

3. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

4. Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Этот ряд сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом (ряд сходится при ). Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: .

Это знакоположительный ряд. Применим признак д, Аламбера: : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим один и тот же гармонический ряд , который расходится. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

6. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда расходятся, так как не выполняется необходимый признак сходимости (общий член ряда не стремится к нулю). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

7. Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Это условие выполняется, если . При получим знакочередующийся числовой ряд , при получим числовой ряд . Оба ряда сходятся по признаку сравнения с рядом , причём первый ряд сходится абсолютно. Следовательно, ряд сходится при . Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Известно, что . Функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , при условии , - знаменатель прогрессии. Положим . Получим ряд: . Тогда . Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только , или . Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область . Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим , получим: . Тогда . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Поэтому достаточно взять три слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , а , то . Ответ:

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно,

. Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , Следовательно, . Таким образом, . Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, . Ответ:

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является чётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Следовательно, , если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда для нечётных получим Таким образом, . Ответ: .

17. Разложить функцию в ряд Фурье на :

Вычисляем коэффициенты разложения данной функции в ряд Фурье: . Из таблиц находим (при ): . Функция чётная, поэтому все . Таким образом, . Ответ: .

18. Найти разложение функции ряд Фурье в комплексной форме на : .

В комплексной форме ряд Фурье функции периода имеет вид: где . В данном случае . Таким образом, . Ответ: .

19. Функцию представить интегралом Фурье в действительной форме:

Представление функции интегралом Фурье в действительной форме имеет вид , где . Заданная функция является нечётной и, следовательно, . Таким образом, .