Вариант № 02

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд сходится так как . Тогда сходится и ряд с общим членом по признаку сравнения в предельной форме: . С другой стороны, для общего члена исследуемого ряда справедливо неравенство . Следовательно, по первому достаточному признаку сравнения исследуемый ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

. Рассмотрим аналогичный предел с непрерывным аргументом и вычислим его по правилу Лопиталя:

. Записанный выше предел с целочисленным аргументом также равен нулю, следовательно, данный ряд сходится. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Этот ряд расходится, так как является частью гармонического ряда: Исследуемый ряд является знакочередующимся рядом: Он удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница. Действительно, по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают, т. е. . Кроме того, при . Следовательно, исходный ряд сходится условно. Ответ: Ряд сходится условно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду :

. Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Он сходится по теореме Лейбница, так как общий член ряда стремится к нулю, а по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают. При получим знакоположительный числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд , который сходится по признаку Лейбница. При получим числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Это знакочередующийся ряд, так как . Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим один и тот же знакочередующийся числовой ряд , который сходится условно (по теореме Лейбница). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Воспользуемся известнымразложением корня квадратного:

. Этот ряд сходится при условии . Преобразуем исходную функцию: . В записанном выше разложении квадратного корня положим , получим: Или . Ряд сходится, если или .

Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Представим данную функцию в виде . Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . В этот ряд подставим сначала , затем , получим: , . Тогда . Ряд сходится при При ряд расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. При ряд сходится в соответствии с признаком Лейбница. Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой В данном случае вычисляется , т. е. . Таким образом, В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если первое отбрасываемое слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Очевидно, что . Поэтому достаточно взять три слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , а , то

. Ответ:

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно,

. Ответ: .

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, . Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде , где . Будем последовательно вычислять производные : , . Следовательно, . Таким образом, .

Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим все суммы, выделяя «лишние» слагаемые: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Получим: . Таким образом, .

Ответ: .

16. Разложить заданную графиком периодическую функцию в ряд Фурье:

По графику определяем .

Функция является нечётной. Поэтому в её разложении в ряд Фурье все коэффициенты . Вычислим коэффициенты : . Следовательно, , если чётное и , если нечётное. Положим . Тогда для нечётных получим Таким образом, . Ответ: .