Вариант № 01

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Известно, что ряд с общим членом сходится при и расходится при . Ряд сходится так как . С другой стороны, для общего члена исследуемого ряда справедливо неравенство . По первому достаточному признаку сравнения ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится. Следовательно, сходится и данный ряд (причём, абсолютно). Ответ: Ряд сходится.

2. Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Применим признак д, Аламбера:

(так как показатель степени в числителе меньше показателя степени в знаменателе). Ответ: Ряд сходится.

Исследовать числовой ряд на сходимость: .

Имеем . Функция удовлетворяет условиям интегрального признака Коши. Действительно, монотонно убывает на и, следовательно, интеграл и исходный ряд сходятся или расходятся одновременно. Имеем . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. Ответ: Ряд сходится.

Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Рассмотрим ряд . Для сравнения возьмём сходящийся ряд с общим членом : (предел отношения многочленов одинаковой степени равен отношению коэффициентов при старших степенях, если аргумент стремится к бесконечности). Таким образом, рассмотренный ряд сходится по признаку сравнения в предельной форме. Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. Ответ: Ряд сходится абсолютно.

5. Определить область сходимости функционального ряда: . Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Или . Следовательно, интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . Он сходится по теореме Лейбница, так как общий член ряда стремится к нулю, а по абсолютной величине члены ряда монотонно убывают. При получим знакоположительный числовой ряд , который расходится по признаку сравнения с гармоническим рядом. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Применим признак д, Аламбера к ряду : . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. или . Следовательно, ряд сходится при и . Исследуем ряд на концах интервала. При получим знакочередующийся числовой ряд . При получим числовой ряд . Так как второй ряд сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом , то сходится (причём, абсолютно) и первый ряд. Ответ: Областью сходимости ряда является множество

Определить область сходимости функционального ряда: .

Это знакочередующийся ряд, так как . Поскольку всегда , то достаточно рассмотреть ряд с положительными членами. Применим признак д, Аламбера: . Ряд сходится, если этот предел будет меньше единицы: , т. е. . Следовательно, ряд сходится при . Исследуем ряд на концах интервала. При и при получим один и тот же знакочередующийся числовой ряд , который сходится условно (по теореме Лейбница). Ответ: Областью сходимости ряда является множество

8. Разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням . Указать область сходимости: .

Известно, что эта функция представляет сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , при условии , - знаменатель прогрессии. Преобразуем эту функцию: . Таким образом, получили снова сумму геометрической прогрессии, в которой знаменателем прогрессии является величина . Таким образом, . Этот ряд будет бесконечно убывающей прогрессией, если только , т. е. или . Очевидно, что на концах этого интервала ряд расходится. Следовательно, областью сходимости ряда будет область . Ответ: .

9. Указанную функцию разложить в ряд Маклорена, используя разложения в ряд функций указать область сходимости: .

Воспользуемся разложением функции в ряд Маклорена: . Этот ряд сходится при . Положим здесь . . Следовательно, при , получим: . Областью сходимости ряда будет . Ответ: , .

10. Вычислить приближённо с точностью до 10-4: .

Воспользуемся формулой Последуюший член ряда связан с предыдущим рекуррентной формулой: . В данном случае вычисляется , т. е. . В соответствии с теоремой Лейбница заданная точность будет достигнута, если последнее включённое в сумму слагаемое будет по абсолютной величине меньше, чем . В данном случае . Так как , то достаточно взять три слагаемых: . Ответ:

11. Вычислить предел, используя разложение функций в ряд Тейлора: .

Так как , то . Ответ:

12. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии при . Следовательно, . Ответ:

13. Найти сумму ряда:.

Обозначим сумму ряда через S(X). Тогда . Но есть суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий при . Следовательно, .

Ответ: .

14. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Будем искать решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишнее» слагаемое: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Очевидно, что и Таким образом, , где выполняет роль произвольной постоянной. Ответ: .

15. Получить решение дифференциального уравнения 1-го и 2-го порядков в виде степенного ряда или ряда Тейлора:

Ищем решение уравнения в виде . Тогда . Подставляя это в исходное уравнение, получим: . Первую сумму можно записать в следующем виде: . Вторую сумму в уравнении можно записать виде: . Тогда . Объединим обе суммы, выделяя «лишнее» слагаемое: . Это равнество должно выполняться для различных значений X. Это возможно лишь тогда, когда коэффициенты при всех степенях X будут равны нулю, т. е. и . Отсюда получаем рекуррентную формулу: Следовательно, . Воспользуемся начальными условиями: . Учитывая, кроме того, что , получим: . Таким образом,