Вариант № 19

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется следующим неравенством: , т. е. . Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Строим по точкам график функции в интервале , затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза. Полученный график повторяем в интервалах для всех . Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: – вся числовая ось: . Преобразуем функцию: . Сначала построим график функции , затем сдвинем полученный график на 2 единицы вправо по оси ОХ. Получим график функции . Затем ординаты всех точек графика увеличим в 2 раза. Ответ: Последовательность получения графика представлена на рисунке.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Заметим, чо всегда , так как . Кроме того, область определения функции определяется неравенством , т. е. . Построим сначала график функции , затем отразим этот график зеркально относительно оси OX.. Ответ: График представлен на рисунке (сплошная линия).

5. Построить график функции: .

Преобразуем функцию: . Это уравнение окружности радиуса . Можно перейти к декартовым координатам . Тогда . Или: - окружность радиуса с центром в точке (1, 1).

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной:

. Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Рассмотрим предел знаменателя:

Следовательно,

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем предел и воспользуемся эквивалентными величинами: .. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения: . Таким образом, в точке X=4 функция имеет разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: , .

Ответ: В точке и X=4 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=0 равна -2.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , следовательно производной не существует. Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: .

Берём производную, как производную неявной функции:

. Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : .Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

. Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора .

Ответ: В окрестности точки (1, -1) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (1, -1) является точкой перегиба: слева - интервал выпуклости, справа - интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Сделаем замену: . Тогда . По формуле Тейлора . Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: ,. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :. Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: .

2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют, функция положительна в области определения 3. Функция имеет разрыв в точке . Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, прямая явля-

Ется вертикальной асимптотой.

4. (по правилу Лопиталя). Следовательно, прямая является левосторонней горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Слева от точки производная отрицательна, справа положительна. Следовательно, в точке имеет место минимум функции, причём . В интервале функция монотонно возрастает, в интервале функция монотонно убывает, в интервале функция монотонно возрастает.

6. Вторая производная: . Вторая производная во всех точках положительна, следовательно, график функции вогнутый на всех интервалах. Точек перегиба нет. 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум – минимум – в точке . Вертикальная асимптота , горизонтальная асимптота .

< Предыдущая		Следующая >