Вариант № 18

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Освободимся от знака модуля: . Если , то . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Если , то и . Из первого неравенства находим или . Из второго неравенства или . Объединяя результаты, получим два интервала: и . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Строим по точкам график функции для , затем «растягиваем» его по оси ОУ в два раза. Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Это уравнение параболы с вершиной в точке (2, 0) и с ветвями, направленными влево по оси ОХ. Исходная функция определяет лишь часть этой параболы, расположенную в верхней полуплоскости. График функции пересекает ось ОУ в точке . Ответ: График представлен на рисунке.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Или . Это уравнение гиперболы, расположенной в первой и третьей четвертях, вершины которой лежат на биссектрисе этих углов, а оси координат являются асимптотами гиперболы. Исходная функция определяет только часть гиперболы, так как всегда . Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для всех значений φ и . В интервале если функция возрастает от 0 до A (при ), затем убывает от A до 0, затем вновь возрастает от 0 до A, затем убывает до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2, A), (0, 0) и (3π/2, A). График построен для A=2.

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

.

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к числителю выражение: . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной и воспользуемся первым замечательным пределом: : . Тогда

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:. Тогда

|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: ,. Таким образом, в точках X=−1 и X=0 функция имеет разрывы второго рода. Прямые X=−1 и X=0 являются вертикальными асимптотами. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Прямая Y=1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: В точке и X=−4 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непре рывна. Эскиз графика представлен на рисунках (первый график представляет функцию в интервале от -1 до 0, на втором рисунке этого участок не виден).

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна 1.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , следовательно производной не существует. Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции:

. Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : .Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞/∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, -2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (-1, 1) является точкой перегиба: слева - интервал вогнутости, справа - интервал выпуклости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Преобразуем предел: . По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: , . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде :

. Следовательно, наклонных асимптот

нет.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Слева от точки производная положительна, справа отрицательна. Следовательно, в точке имеет место максимум функции, причём . В точке производная не существует. В интервале функция монотонно возрастает, в интервале функция монотонно убывает, в интервале функция также монотонно убывает.

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке и не существует в точке . Имеем три интервала. В интервале вторая производная отрицательна, следовательно, график функции выпуклый, в интервале вторая производная положительна, следовательно, график функции вогнутый, в интервале вторая производная отрицательна, следовательно, график функции выпуклый. Точки и являются точками перегиба. 7. График функции пересекает оси координат в точках и . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум – максимум – в точке . Точки перегиба - и . Асимптот нет.

< Предыдущая		Следующая >