Вариант № 17
1. Найти область определения функции :.
Область определения данной функции определяется следующими условиями: ,
, т. е.
. Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль:
или
. Объединяя результаты, получим:
. Ответ:
.
2. Построить график функции: .
Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек
и
. Преобразуем функцию:
если
и
если
. Или
. График функции симметричен относительно прямой
, прямая
является горизонтальной асимптотой. Достаточно построить график (по точкам) для
, затем отобразить полученную часть графика зеркально относительно прямой
.
Ответ: График представлен на рисунке.
3. Построить график функции: .
Область определения функции – вся числовая ось: . Функция периодическая с периодом 4 (относительно переменной X). Строим сначала
. Затем «растянем» график в 4/π раза по оси ОХ, затем «сжимаем» его по оси ОУ в четыре раза.
Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.
4. Построить график функции: .
Исключим параметр T: . Или
. Возведём обе части в квадрат
. Преобразуя, получим уравнение эллипса с центром в начале координат, с малой полуосью 2 и с большой полуосью 5:
.
Ответ: График представлен на рисунке.
5. Построить график функции:
.
Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых
и
или
и
. Рассмотрим первый вариант:
если
. Функция возрастает от 0 до A (при
), затем убывает от A до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2, A) и (0, 0). График построен для A=2. Ответ: График представлен на рисунке.
6. Вычислить предел: .
Возведём все скобки в степени и приведём подобные:
.
Ответ: .
7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:
. Ответ:
.
8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение:
.
Ответ: .
9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом:
:
.
Ответ: .
10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).
Приведём предел ко второму замечательному пределу: :
. Ответ:
.
11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).
Сделаем замену переменной, затем воспользуемся эквивалентными величинами: . Тогда
|. Ответ:
.
12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .
Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничной точке области определения:
.
Таким образом, в точке X=−4 функция имеет разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности:
.
Ответ: В точке и X=−4 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика:
.
Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:
. Таким образом, в точке X=−1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=−1 равна -3.
Ответ: В точке X=−1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.
14. Исходя из определения производной, найти :
.
По определению . Заменим ΔX на X-X0:
. Но
, поэтому
. В данном случае
, так как
всегда.
Ответ: .
15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию:
. Берём производную, как производную неявной функции:
. Подставляем сюда Y:
. Ответ:
.
16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :
.
Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид
и
, где
и
- координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:
. Найдём производные
и
:
.Тогда
. Далее,
, следовательно,
. Таким образом, уравнение касательной
, уравнение нормали
. Или
и
.
Ответ:
17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке
Значение
. Найти
.
Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим:
. Находим вторую производную:
. Вычислим производные в точке
:
. Ответ:
,
,
.
18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .
По определению дифференциала или, в других обозначениях,
. Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений:
. В данном случае
. Тогда
. Ответ:
19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:
. Найдём предел в показателе степени:
. Следовательно,
.
Ответ: .
20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .
Это неопределённость вида (∞/∞):
. Ответ:
.
21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням :
.
Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .
Найдём все производные: ,
. Тогда
. Подставив это в формулу, получим:
.
Ответ: .
22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до
:
.
Применяем формулу Тейлора:
.
Вычисляем последовательно:
.
Ответ: .
23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .
Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:
. По формуле Тейлора
. Ответ: В окрестности точки (2, -2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (-2, -2) является точкой перегиба: слева - интервал вогнутости, справа - интервал выпуклости.
24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .
По формуле Тейлора . Подставим это в предел:
.
Ответ: .
25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .
Область определения функции:
. Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения:
. Отсюда следует, что прямая
является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при
:
. Ищем наклонные асимптоты в виде
:
. Следовательно, прямая
является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.
26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .
1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют, функция положительна в области определения 3. Функция имеет разрыв в точке
. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва:
. Таким образом, прямая
является вертикальной асимптотой.
4. . Следовательно, прямая
является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.
5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси (
). Следовательно, в области определения функция монотонно убывает и экстремумов не имеет.
6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке
. В точке
вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале
производная
- интервал выпуклости графика функции, в интервале
производная
- интервал вогнутости, в интервале
производная
- интервал вогнутости графика функции. Точка перегиба -
. 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках
. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точка перегиба -
, асимптоты:
- вертикальная,
- горизонтальная.
< Предыдущая | Следующая > |
---|