Вариант № 16

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и . Из второго неравенства следует, что должно выполняться неравенство , где K – любое целое число. Из первого неравенства находим, что , если . При получим . При получим . При других значениях K неравенства не имеют общих рещений.

Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точек и . Преобразуем функцию: если и если . Или . Функция чётная, прямая является горизонтальной асимптотой. Достаточно построить график (по точкам) для , затем отобразить полученную часть графика зеркально относительно оси ОУ.

Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции – вся числовая ось: . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в четыре раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на четверть единицы вправо. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Или . Преобразуя, получим уравнение эллипса с центром в начале координат, с малой полуосью 1 и с большой полуосью : .

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при всех значениях φ. Функция возрастает от 0 до 2 (при ), затем убывает от 2 до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (π/2, 1) и (3π/2, 1). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Вычислим предел, используя замену переменной:

. Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

, так как . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной, затем воспользуемся эквивалентными величинами: . Тогда

|

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: ,. Таким образом, в точках X=0 и X=1 функция имеет разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .

Ответ: В точках X=0 и X=1 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунках. На втором рисунке показано поведение функции в интервале (0, 1) в более крупном масштабе.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна -2.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда.

Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

.Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , урав-

Нение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞−∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

,

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-2, -2) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (-2, -2) является точкой перегиба: слева - интервал выпуклости, справа - интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : , так как . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Функция нечётна, периодичность отсутствует. 3. Функция имеет разрыв в точке . Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Аналогично, . Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точках и . При производная отрицательна, при производная положительна. Следовательно, точка является точкой минимума, причём . При производная положительна, при производная отрицательна. Следовательно, точка является точкой максимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная в нуль не обращается. В точке вторая производная не существует. Имеем два интервала: интервал и интервал . Производная при и при . Следовательно, в интервале график функции вогнутый, а в интервале - выпуклый. Точек перегиба нет. 7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, минимум функции - в точке , максимум функции – в точке .

< Предыдущая		Следующая >