Вариант № 15

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами: и или . Умножим первое неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Если , то . В точке график функции пересекает обе оси. Если , то . Вычисляем значения функции в нескольких точках:

-4	-3	-2	-1	1	2	2.5
4/7	1/2	2/5	1/4	1/2	2	5
2.8	3.2	3.5	4	5	6
14	16	7	4	5/2	2

По всем данным строим график. Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на 2 единицы влево. Получим график функции . Затем «растягиваем» график по оси ОУ в 1,5 раза. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T:

. Получили уравнение параболы с вершиной в точке (0, 1), ветви которой направлены вверх. Область определения функции - (-∞,∞). Графиком функции является парабола.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Функция существует для всех значений φ, так как . Функция уменьшается от 4 (при φ =0) до2 (при φ =π/2), далее до 0 (при φ =π). Затем функция возрастает до 2 в обратном порядке.

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0-0)).

Приводим к общему знаменателю: . Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: .Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Получим: . Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=4. В точке X=4 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=4 имеет место разрыв первого рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=4 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=−1 функция непрерывна, а в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=0 равна 1. Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда.

Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

.Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, 4) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (2, 4) является точкой максимума.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при :

. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют, функция положительна в области определения 3. Функция имеет разрыв в точке . Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой.

4. . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Очевидно, что других асимптот нет.

5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. Производная остаётся положительной на всей числовой оси. Следовательно, в области определения функция монотонно возрастает и экстремумов не имеет.

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал вогнутости, в интервале производная - интервал выпуклости графика функции. Точка перегиба - . 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точка перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >