Вариант № 10
Задача 1
Используя определение производной, найти 
для функции 
.
Здесь мы применили формулу 
, которую сейчас докажем:
Обозначим 
, тогда 
; 
; при 
: 
;
Рассмотрим 
.
Задача 2
Найти производные следующих функций:
2.1 
;
;
2.2 
; 
;
2.3 
; 
;
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14
2.15 
вычислим: 
2.16 
(1) продифференцируем по X Равенство (1):
2.17 
Рассмотрим 
(1) продифференцируем по X Равенство (1):
Задача 3 (смотри рис. 3)
Написать уравнения касательной 
И нормали 
к кривой
: 
, (1)
В точке
. Сделать чертёж.
А) уравнение касательной (K) к кривой (L) в точке 
имеет вид: 
;
Найдем 
, для чего продифференцируем по х равенство (1):
; 
; 
;
Уравнение касательной : 
; 
; 
;
Б) уравнение нормали К кривой В точке имеет вид:
; т. е. 
или 
.
Задача 4
Составить уравнение одной из касательных к кривой :
, зная, что эта касательная перпендикулярна прямой 
:
Пусть искомая касательная Проходит через т. 
,тогда ее уравнение имеет вид:
; рассмотрим 
; 
;
По условию касат. 
; след. 
;
; 
; 
; 
;
След. имеем 2 касательные 
к кривой В точках 
и 
,
Уравнения которых: 
; 
.
Задача 5
Найти производные второго порядка для функций, заданных в пунктах 2.14, 2.15, 2.16.
2.14 
;
;
2.15 
;
;
2.16 
;
Задача 6
Закон движения материальной точки : 
Показать, что при 
траектория движения пересекает прямую : 
и найти угол между траекторией и прямой.
А)рассм. 
; 
;
Подставим в уравнение прямой : 
,
След. при 
данная траектория пересекает прямую ;
Б) находим угол 
между траекторией и прямой : вычислим угловой коэффициент касательной 
К траектории в точке их пересечения:
; 
;
Рассм. 
, след. 
, т. е. угол 
.
Задача 7 (смотри рис. 7)
Закон прямолинейного движения материальной точки : 
1) 
2) 
; 
;
3) 
; 4) точка находилась в покое при 
;
5) точка имела наибольшую скорость 
в момент времени 
С.
Задача 8 (смотри рис. 8)
Закон движения материальной точки : 
Рассмотрим 
; 
- прямая линия ;
Находим значение 
, соотв. точке 
;
;
Скорость движения проекции точки на ось OX:
; 
.
Задача 9
;
Известно, что 
, т. е. 
; прологарифмируем это равенство: 
; 
; 
Зависимость 
;
Скорость охлаждения тела :
;
.
Задача 10
Найти дифференциалы: 
Применим формулу : 
;
А) 
; 
;
;
Б) 
; 
; 
;
В) 
; 
; 
;
Задача 11
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке 
.
Рассм. точку 
; 
;
; 
; 
;
Вычислим 
Ответ: 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
