Задача 1
Используя определение производной, найти 
для функции 
в точке 
Задача 2
Найти производные следующих функций:
2.1 
2.2 
2.3 
2.4
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
2.15 
вычислим 
2.16 
(1) продифференцируем по х равенство (1):
(2) 
2.17
рассмотрим 
(2)
Продифференцируем по х равенство (2):
Задача 3
Составить уравнения касательной и нормали к кривой L: 
(1) в точке 
.
А) уравнение касательной K к кривой L в точке 
имеет вид: 
Найдем 
для чего продифференцируем по х равенство (1):
Уравнение касательной 
: 
или 
Б) уравнение нормали 
к кривой L в точке 
т.e. 
или 
.
Задача 4
Составить уравнение одной из касательных к кривой 
: 
зная, что эта касательная параллельна прямой т: 
(или 
).
Пусть искомая касательная (K) проходит через точку 
тогда ее уравнение имеет вид: 
найдем 
По условию, касательная (K)
Прямой (т), следовательно 
Т.E. 
Задача 5
Найти производные второго порядка для функций, заданных в пунктах 2.14, 2.15, 2.16.
2.14 
2.15 
2.16 (1) продифференцируем равенство (1) по х:
(2)
Продифференцируем по X Равенство (2):
где 
Задача 6
Закон движения материальной точки : 
Проверить, что при 
траектория движения 
пересекает параболу (
): 
и найти угол между траекторией и параболой.
A) рассмотрим 
,
Следовательно, при 
(т. е. в точке 
) кривая 
пересекает параболу 
;
Б) находим угол между кривыми и в точке
Найдем угловые коэффициенты касательных 
и 
к кривым и в точке 
Для 
Для 
Угол 
между касательными () и 
определяем по формуле:
Задача 7 (смотри рис. 7)
Закон прямолинейного движения материальной точки:
1) 
2) 
3) 
4) точка находилась в покое при 
5) точка имела наибольшую скорость 
в момент времени T = 6 C.
Задача 8 (смотри рис. 8)
Закон движения материальной точки: 
Рассмотрим 
, - Траектория движения материальной точки (парабола);
Определим момент времени 
, когда мат. точка впервые займет положение 
Рассмотрим 
Скорость движения абсциссы точки: 
Задача 9
Количество растворяющегося вещества за время T:
По условию задачи при 
: 
т.E. 
Скорость растворения равна:
Задача 10
Найти дифференциалы: 
Применим формулу :
;
A)
, 
, 
;
Б)
,
;
В)
, 
, 
;
Задача 11
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке 
Рассмотрим точку 
; 
;
; 
;
Вычислим 
;
; 
;
;
.