Задача 1
Используя определение производной, найти 
для функции 
в точке 
Задача 2
Найти производные следующих функций:
2.1 
2.2 
2.3 
2.4 
2.5 
2.6 
2.7 
2.8 
2.9 
2.10 
2.11 
2.12 
2.13 
2.14 
; 
;
2.15 
; вычислим 
; 
; 
;
2.16 
, 
продифференцируем по X Рав - во :
; 
;
; 
2.17 
; рассмотрим 
;
Продифференцируем по X Рав-во :
.
Задача 3 (смотри рис. 3)
Написать уравнения касательной 
И нормали 
К кривой
: 
, (1) в точке 
. Сделать чертеж.
1) уравнение касательной К кривой:
в точке 
имеет вид:
; найдем 
, для чего продифференцируем по х рав - во (1):
; 
; 
; 
;
Уравнение касательной : 
или 
;
2) уравнение нормали К кривой в точке имеет вид:
; т. е. 
или 
;
3)рассмотрим кривую : ; 
; 
,- гипербола.
Задача 4
Составить уравнение касательной К кривой: 
, зная, что эта касательная перпендикулярна прямой
: 
( или 
).
Пусть искомая касательная (K) проходит через точку 
,тогда ее уравнение имеет вид: 
рассмотрим 
По условию задачи, касательная (K) 
(т) , следовательно должно выполняться равенство: 
т.E. 
уравнение искомой касательной (K): 
или 
Задача 5
Найти производные второго порядка для функций, заданных в пунктах 2.14, 2.15, 2.16.
2.14 
2.15 
2.16 
, где 
Задача 6
Закон движения материальной точки: 
(1).
Показать, что при 
траектория (L) движения пересекает гиперболу (G): 
(2),
И найти угол между траекторией и гиперболой 
.
1) рассмотрим: 
Подставим 
в уравнение гиперболы (G): 
,
Следовательно, при 
данная траектория (L) мат. точки пересекает гиперболу (G);
2) находим угол 
между траекторией (L) и гиперболой (G):
Вычислим угловой коэффициент касательной 
к траектории (L) в точке пересечения 
Вычислим угловой коэффициент касательной (K
) к гиперболе (G) в точке их пересечения 
Продиффер. рав - во (2) по X:
Задача 7 (смотри рис. 7)
Закон прямолинейного движения материальной точки:
1) 
2) 
3) 
4) Точка находилась в покое при 
5) Точка имела наибольшую скорость 
в момент времени T = 6 C.
Задача 8 (смотри рис. 8)
Закон движения материальной точки: 
Рассмотрим 
, откуда 
— траектория движения данной материальной точки (прямая линия);
Определим момент времени 
, когда материальная точка впервые займет положение 
:
Рассмотрим 
Скорость движения проекции точки на ось OX равна:
Задача 9
Зависимость угла поворота от времени T: 
Угловая скорость колеса 
по условию задачи: 
Следовательно, 
И след. зависимость 
имеет вид: 
рассмотрим 
Задача 10
Найти дифференциалы: 
Применим формулу: 
A) 
;
Б 
В) 
Задача 11
Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции 
в точке 
Рассмотрим точку 
Вычислим 
