Вариант контрольной 11

Вариант 11

Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.

Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат.

Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Задача 5. Вычислить площадь фигуры:

Решение.

Фигура (эллипс) симметрична относительно оси 0y, при этом точке , а точке . Поэтому:

Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах

Решение:

Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:

Решение.

Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:

Решение:

Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:

;

Решение.

Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:

, ,

Решение.

Имеем тело - цилиндр. Сечение, перпендикулярное оси OZ – окружность:

, т. е.

Значит, объем тела:

Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.

Решение.

Находим точки пересечения графиков функций:

Значит, объем тела

Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: кардиоида

Решение: Кардиоида симметрична относительно Ох и

Так как кардиоида симметрична относительно Ох

Задача 13. Найти момент инерции относительно оси Ох дуги кривой .

Решение:

МОмент инерции дуги кривой относительно оси Ох:

Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

А) Подынтегральная функция определена и непрерывна при .

Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Б)

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При . Значит, несобственный интеграл:

Несобственный интеграл сходится.

Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции

Подынтегральная функция определена и непрерывна при и При .

Оценим знаменатель подынтегральной функции при

Следовательно:

Поскольку интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл.

< Предыдущая		Следующая >