Вариант контрольной 10
Вариант 10
Задача 1. Вычислить определенный интеграл методом замены переменной с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 2. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до двух знаков после запятой, выделяя в знаменателе полный квадрат. 
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
Находим точки пересечения графиков функций:
Задача 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями :
Астроида симметрична относительно оси 0х, при этом точке 
, а точке 
. Поэтому:
Задача 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах.
Решение:
Задача 7. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 8. Вычислить длину дуги кривой:
Решение.
Задача 9. Вычислить длину дуги кривой:
; 
Решение.
Задача 10. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение.
Имеем тело(эллипсоид) с сечениями параллельно XOY, зависящими только от Z:
.
Значит объем тела:
Сечение, перпендикулярное оси OZ – эллипс:
Площадь эллипса:
.
Задача 11. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций. Ось вращения OХ.
Решение:
Задача 12. Найти координаты центра масс однородной плоской кривой L: дуга кривой
Рассмотрим:
Значит:
Рассмотрим:
Значит:
Задача 13. Найти статический момент относительно оси ОY отрезка прямой 
, заключенного между осями координат.
Решение:
Статический момент относительно оси ОY:
Задача 14. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
А)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
. Значит, несобственный интеграл:
Значит, несобственный интеграл расходится.
Б)
Подынтегральная функция определена и непрерывна при 
и 
При 
. Значит, несобственный интеграл:
Несобственный интеграл сходится.
Задача 15. Исследовать сходимость интеграла от неотрицательной функции
Так как 
справедлива для всех 
. Поскольку существует конечный предел:
А интеграл 
сходится, то по предельному признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл при 
.
Так как 
справедлива для всех 
. Поскольку существует конечный предел:
А интеграл 
сходится, то по предельному признаку сравнения сходится исходный несобственный интеграл при 
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
