Вариант № 07

Вар.7

Задача 1: Найти область определения функции . Нарисовать область на координатной плоскости.

Область определения функции , т. е. границами области будут прямые И . Область определения данной функции состоит из точек, лежащих между этими прямыми, включая точки на прямых.

Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал

Задача 3: Вычислить значения частных производных функции в точке

Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции , где при

; ;

При

Задача 5: Вычислить значения частных производных функции , заданной неявно, в заданной точке

или

;

В точке :

Задача 6: Найти градиент функции и производную по направлению в точке

; ;

Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке

Поверхность задана неявно

;

;

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Задача 8: Найти вторые частные производные функции . Убедиться в том, что

;

;

Значит

Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению:

;

Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:

Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.

Задача 10: Исследовать функцию на экстремум

;

система имеет два решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

В т.Нет экстремума

б) т.- стационарная точка

; ;

и

т. - т. минимума

Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , ограниченной заданными линиями

1) Система имеет три

решения:

а) X=0, Y=0 Т.- стационарная точка

;

;

;

требуется дополнительное исследование

.Рассмотрим Окрестность этой точки в пределах области :

1)

2)

Следовательно, в точке - минимум в пределах области .

б) т.- стационарная точка

; ;

в т. - нет экстремума

в) т. - стационарная точка

; ;

в т. - нет экстремума

2) Исследуем значения функции на границах области :

а) сторона 0А:

на 0А стационарная

точка;

б) сторона АВ:

на АВ стационарные

точки И

В т. А:И в т. В :

в) сторона ВС:

Во всех точках стороны ВС одинаковое значение

г) сторона С0:

на С0 стационарная

точка;

Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:

;

Задача 12: Найти условный экстремум функции при

не обращается в нуль ни в одной точке окружности

Составим функцию Лагранжа:

;

Система имеет 2 решения:

1) , т. е. т.

2) , т. е. т.

Выясним наличие условного экстремума двумя способами:

1)

При Ф-ция имеет условный максимум в т.И ;

При Ф-ция имеет условный минимум в т. и ;

2) Рассмотрим т. при . Имеем

;

;

При .

Значит: т.- точка условного максимума

Рассмотрим т. при . Имеем

;

;

При .

Значит: т. - точка условного минимума

< Предыдущая		Следующая >