Вариант № 19

Задача 1.

Ур. (1) - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1);

Пост. нах-м из нач. усл. (2): , - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 2.

- ур. с разд. пер.;

, - общ. интеграл ур. (1).

Задача 3.

рассм.

Введём новую неизв. ф - ю , тогда ; , - ур. с разд. пер.;

, - общ. интеграл ур. (1).

Задача 4.

Введём нов. неизв. ф-ю , тогда ;

, - ур. с разд. перем.;

, - общ. интеграл ур-я (1).

Задача 5

Ур. (1) – лин. неодн. ур. 1 порядка;

Рассм. соотв. одн. ур.: - ур. с разд. пер.;

Общ. реш. ур. (3): ;

Общ. реш. ур. (1) ищем в виде ( метод вариации произв. пост-х):

;

,- общ. решение ур. (1);

Пост. C нах-м из нач. усл (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 6.

Р-м - лин. неоднор. ур 1 пор.;

р-м соотв. однор. ур: - ур. с разд. пер.;

;

Общ. реш. одн. ур. (3): ;

Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем методом вариации произв. пост., т. е. в виде: ;

; ;

, - общ. реш. неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).

Задача 7.

– ур. Бернулли (N=2);

Применим метод Бернулли, т. е., положим тогда ;

;

Р-м. вспом. Диф. ур.: - ур. с разд. пер.;

Рассм. частн. реш. ур. (3) и подст. его в ур-е (2):

,- общ. реш. ур. (4);

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 8.

- лин. неоднор. ур 2 пор.;ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X);

Введём новую неизв-ю ф-ю , где X – аргумент, тогда ;

- лин. неоднор. ур 1 пор.; р-м соотв. однор. ур: - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур-я (3);

Реш-е неодн. ур. (2) ищем в виде(метод вариации произв. пост.): ;;

, - общ. реш. ур. (2);

Рассм.

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 9.

- диф. ур. 2 пор.;

Ур. (1) не сод. явно ни аргумент X, ни неизв. ф-ю Y(X);

Введём нов. аргум. Y и нов. неизв. ф-ю , тогда ;

- ур. с разд. перем.;

- общ. реш. ур. (3) и ур. (2) - ур. с разд. перем.;

, - общ. реш. ур. (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргум. X;

Введём новый аргумент Y и новую неизв. ф-ю ; рассм.

1) P = 0; - это реш-е не удовл. нач. усл. (2), (3).

2)

Пост. нах-м из нач. усл. (2), (3):

При X=0: Y=1, , т. е., - ур. с разд. перем. пост. нах-м из нач. усл. (2): ;

, - реш. зад. Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Р-м хар. ур.:

;

Фунд. с-му решений ур-я (1) образуют ф-и: и

Общ. реш. ур. (1):

Задача 12.

Найти интегр. кривую ур-я (1), к-рая касается прямой в т. .

- лин. одн. ур 2 пор. с пост. коэф.;

Т. к. искомая интегр. кривая ур-я (1) проходит через т. , то

Т. к. эта кривая в т. касается прямой , то ;

След, данная задача предст. собой задачу Коши (1) (3).

Хар. ур.: ;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Рассм. опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

- ур. искомой интегр. кривой (1), касающейся прямой В т. .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

Частные реш – я след. ур – й:

; ,

Причём частные реш – я Ищем в виде:

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

Рассм.

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид:

;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4): ;

;

;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

Которое ищем в виде: ;

Рассм. ;

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм.

;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:

.

< Предыдущая		Следующая >