Вариант № 18

Задача 1.

Рассм. ур. (1) - ур. с разд. пер.;

Пост. С нах-м из нач. усл. (2): ; - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 2.

- ур. с разд. пер.;

, - общ. реш. ур-я (1).

Задача 3

рассм. в прав. части ур. (1а) - однор. ф-я; введём новую

Неизв. ф-ю , тогда ; ; - ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 4

рассм.

В прав. части ур. (1а) - однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

- общ. интеграл ур-я (1) или , - общ. реш. ур. (1).

Задача 5.

- лин. неоднор. ур 1 пор.;

Соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (2); общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): рассм ;

- общ. реш. неодн. ур. (1).

Задача 6.

- лин. неоднор. ур 1 пор.;

Соотв. однор. ур:

- общ. реш. одн. ур. (3); общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): рассм.;

- общ. реш. неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).

Задача 7.

Ур. (1) – ур. Бернулли (N=2); применим метод Бернулли, т. е., положим

Тогда ;

рассм. вспомогат. диф. ур.:

Рассм. частн. реш. ур. (4) и подст. его в ур. (3):

- ур. с разд. пер.;

;

- общ. реш. ур. (1);

Пост. С нах-м из нач. усл. (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 8.

ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв-ю

Ф-ю , тогда ; - ур. с разд. перем.:

; рассм. теперь - общ. реш. ур-я (1).

Задача 9

- диф. ур. 2 пор.; рассм.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём нов. неизв. ф-ю

- ур. с разд. перем.; ;

Расм.:;

;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 10

Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргумент Y и новую неизв. ф-ю ,

Тогда ; ; (, т. к. это противоречило бы нач. усл. (3));

- ур. с разд. перем.; ;

пост. опр-м из нач. усл. (2), (3): при X = -3: Y=0 и , т. е.

- ур. с разд. перем.;

;

Пост. опр-м из нач. усл. (2): ;

- реш задачи Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Хар. ур.: Фунд. с-му реш-ий

ур-я (1) образуют ф-и: и общ. реш. ур. (1):

Задача 12.

т. ; прямая (M): .

Найти интегр. кривую (L) ур-я (1), к-рая касается прямой (M) в т. . Пусть ур-е искомой интегр.

Кривой (1) имеет вид: Y = Y(X). Т. к. кривая (L) проходит через т. , то ,

А так как крив. L касается в т. прямой M, то

След., данная здача предст. собой задачу Коши (1) (3) для диф. ур. (1).

Ур-е (1) - лин. неодн. ур 2 пор. с пост. коэф.;

Хар. ур.: ;

Общ. реш. ур. (1):

рассм.

Опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

ур. искомой интегр. кривой (L): .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

Частные реш – я след. ур – й:

;

, причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

Рассм.

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

Решим с - му ур – й (6) - (8) и опр – м пост. : ;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2),

А - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;

рассм. ;

; ;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

;

;

Общее реш – е ур - я (1) имеет вид:

.

< Предыдущая		Следующая >