Вариант № 17
Задача 1
- ур. с разд. пер.;
, - общ. реш ур. (1).
Задача 2
Рассм. ур. (1):
- ур. с разд. пер.; 
, - общ. реш. ур. (1);
Пост. 
опр – м из нач. усл. (2): 
, - реш. зад. Коши (1), (2).
Задача 3
В прав. части ур. (1) - однор. ф-я;
Введём новую неизв. ф-ю 
, тогда 
;
, - ур. с разд. пер.; 
Рассм. 
, - общ. реш. ур. (1).
Задача 4
Рассм. 
в прав. части ур-я (1а) однор. ф-я;
Введём новую неизв. ф-ю 
- ур. с разд. пер.;
;
; 
, - общ. интеграл ур-я (1).
Задача 5
Р-м. ур. (1): 
- лин. неоднор. ур 1 пор.;
Соотв. однор. ур: 
- общ. реш. одн. ур. (4);
Общ. реш. неодн. ур. (3) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): 
- общ. реш. неодн. ур. (3), и, след., неодн. ур. (1) ;
Пост. С нах-м из нач. усл. (2): 
;
, - реш. зад. Коши (1), (2).
Задача 6
- лин. неоднор. ур 1 пор.;
Соотв. однор. ур: 
, - ур. с разд. перем.; 
, - общ. реш ур. (3);
Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в в виде (метод вариации произв. пост-х): 
Рассм. 
;
- общ. интеграл неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1).
Задача 7
- ур. Бернулли (N=3);
Применим метод Бернулли, т. е., положим 
; тогда 
Рассм. вспомогат. диф. ур-е: 
Рассм. частн. реш. 
ур-я (3) и подст. его в ур-е (2): 
- ур. с разд. пер.;
- общ. реш. ур. (1).
Задача 8
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв-ю ф-ю 
, тогда 
- лин. неодн. ур 1 пор.;
Соотв. одн. ур.: 
, - общ. реш. одн. ур. (3);
общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х): 
Рассм. 
- общ. реш. неодн. ур. (2); рассм. теперь: 
;
, - общ. реш. неодн. ур. (1).
Задача 9
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв-ю ф-ю ,
Тогда 
- ур. с разд. перем.;
;
, - общ. реш. ур. (1).
Задача 10
Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргумент Y и новую неизв. ф-ю 
, тогда 
- ур. с разд. перем. (
, т. к. это противоречило бы нач. усл. (3)); 
Рассм. 
;
Пост. 
опр-м из нач. усл. (2), (3): при X = 1 : 
Рассм. теперь ур-е: 
Рассм. 
пост. 
опр-м из нач. усл. (2): 
;
Или 
, - реш зад. Коши (1)
(3).
Задача 11
- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Хар. ур.: 
След, фунд. с-му реш-ий ур-я (1) образуют ф-и: 
, 
Общ. реш. ур. (1): 
Задача 12
т. 
; прямая (M): 
, или 
.
Найти интегр. кривую (L) ур-я (1), к-рая касается кривой (L) в т. 
.
Пусть ур-е искомой интегр. кривой (1): Y=Y(X); т. к. кривая (L) проходит через т. , то 
, а так как крив. L в т.
касается прямой M, то 
след. данная задача представляет задачу Коши (1) 
(3);
Рассм. ур-е (1) - лин. однор. ур 2 пор. с пост. коэф.;
Хар. ур.: 
Общ. реш. ур. (1): 
рассм. 
Опр-м пост. 
, из нач. усл. (2), (3): 
, - ур. искомой интегр. кривой (L).
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
Хар. ур. для ур – я (1): 
,
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:
, след., с – ма ф – й 
линейно независима;
Общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1): 
;
Где 
- общ. реш. однор. ур. (2), а функции 
суть, соответственно, частные реш – я
След. ур – й: 
;
; причём частные реш – я Ищем в виде:
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (5): 
Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: 
;
Частное реш – е 
неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: 
Рассм. 
; 
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Рассм. 
; 
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
Реш. зад. Коши (1) - (4): 
.
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:
; рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и 
;
А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть
в виде 
, а неизвестные ф – и 
опр – м из с – мы ур – й:
Рассм. 
;
Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
