Вариант № 16
Задача 1.
ур. (1) – ур. с разд. перем.;
- общ. реш. ур. (1)
Пост. 
нах-м из нач. усл. (2): 
;
Реш. зад. Коши (1), (2): 
.
Задача 2.
- ур. с разд. перем.;
Общ. интеграл ур-я (1): 
.
Задача 3.
– однор. ур-е; введём новую неизв. ф-ю 
, тогда 
, - ур. с разд. пер.;
, - общ. интеграл ур-я (2) и, след., ур-я (1).
Задача 4.
Рассм. 
– однор. ур-е; введём новую неизв. ф-ю , где X – аргумент, тогда 
- ур. с разд. пер.; 
общ. реш. ур-я (1).
Задача 5.
Рассм. ур. (1) - лин. неоднор. ур 1 пор.;
Соотв. одн. ур.: 
- ур. с разд. пер.;
- общ. реш. одн. ур. (3);
общ. реш. неодн. ур. (1) ищем методом вариации произв. пост., т. е., в виде: 
;
, - общ. реш. неодн. ур. (1); пост. С нах-м из нач. усл. (2): 
реш. зад. Коши (1), (2): 
.
Задача 6.
; 
- лин. неодн. ур. 1 пор.;
Соотв. одн. ур.: 
- ур. с разд. перем.;
- общ. реш ур. (3);
Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем методом вариации произв. пост., т. е. в в виде:
; рассм. 
;
; 
;
;
Общ. реш. неодн. ур. (2) и, след., ур-я (1), имеет вид: 
.
Задача 7.
- ур. Бернулли (N=2);
Применим метод Бернулли, т. е., положим 
, тогда 
;
; 
Рассм. вспомогат. диф. ур.: 
, - ур. с разд. перем.;
Рассм. частн. реш. ур-я (4): 
и подст. его в ур-е (3):
, - ур. с разд. перем.; 
;
- общ. реш. ур. (5);
- общ. реш. ур. (1).
Задача 8.
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизвю ф-ю 
,
Тогда 
- ур. (2) - лин. неодн. ур 1 пор.;
Соотв. одн. ур.: 
– ур. с разд. перем.: 
- общ. реш. одн. ур. (3);
Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.): 
- общ. реш. неодн. ур. (2);
- общ. реш. неодн. ур. (1).
Задача 9.
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв. ф-ю ,
Тогда 
- лин. неодн. ур 1 пор.;
Соотв. одн. ур.:
- ур. с разд. перем.;
, - общ. реш. одн. ур. (3);
общ. реш. ур. (2) ищем в виде :
рассм. 
; 
, - общ. реш. неодн. ур.(2):
Рассм. теперь:
- общ. реш ур. (1).
Задача 10.
Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргумент Y и новую ф-ю 
,
Тогда 
;
Знак перед корнем и пост-ю C опр-м из нач. усл. (2) и (3):
При X=1: 
И 
, т. е.: 
Знак ”+” и C=0,
Т. е.:
Пост. опр-м из нач. усл. (2): 
, - реш. зад. Коши 
.
Задача 11.
- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Хар. ур.: 
след, фунд. с-му реш-й ур. (1) образуют ф-и: 
Общ. реш. ур. (1): 
Задача 12.
т. 
; прямая (M): 
Ур-е (1) - лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф. Т. к. искомая интегр. Кривая Y=Y(X) ур-я (1) проходит через т. , то 
Т. к. эта крив. в т. 
касается
Прямой (M) 
, то 
след., дан. зад. предст. задачу Коши (1) 
(3) для ур-я (1).
Рассм. хар. ур. для ур. (1): 
Общ. реш. ур. (1): 
Рассм. 
Опр-м пост. 
, 
из нач. усл. (2), (3): 
, - ур. искомой интегр. кривой (L).
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
Хар. ур. для ур – я (1): 
,
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:
,
След., с – ма ф – й 
линейно независима;
Общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
;
Где 
- общ. реш. однор. ур. (2), а функции 
суть, соответственно,
Частные реш – я след. ур – й:
;
;
Причём частные реш – я Ищем в виде: 
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (5): 
;
Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: 
;
Частное реш – е 
неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Рассм. 
; 
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
Решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м пост. : 
;
Реш. зад. Коши (1) - (4): 
.
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:
; рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
;
След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и 
;
А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,
То есть в виде 
,
А неизвестные ф – и 
опр – м из с – мы ур – й:
Рассм. 
;
;
Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
