Вариант № 15

Задача 1.

ур. (1) – ур. с разд. перем.;

пост. опр-м из нач. усл. (2):

, - реш. зад. Коши (1), (2).

Задача 2.

- ур. с разд. перем.;

Р-м

, - общ. интеграл ур-я (1).

Задача 3.

В прав. части ур. (2) - однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

- ур. с разд. пер.;

, - общ. интеграл ур-я (2) и, след., ур-я (1).

Задача 4.

в прав. части ур. (1а) - однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю , тогда ;

Рассм.

- общ. интеграл ур-я (1а) и, след., ур-я (1).

Задача 5.

или - лин. неодн. ур. 1 пор.;

Соотв. одн. ур.: - ур. с разд. пер.;

след., общ. реш. ур. (2):

Общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (методом вариации произв. пост.):

Рассм. ;

;

общ. реш. неодн. ур. (1):

Задача 6.

или - лин. неодн. ур. 1 пор.;

Соотв. одн. ур.:

; общ. реш ур. (2):

Общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (методом вариации произв. пост-х):

Рассм. ;

; общ. реш. неодн. ур. (1): .

Задача 7.

Заметим, что введём новую неизв. ф-ю , тогда ур. (1) примет вид: - лин. неодн. ур. 1 пор.;

Соотв. одн. ур.:

;

Общ. реш. одн. ур. (4):

Общ. реш. неодн. ур. (3) ищем в виде в виде (метод вариации произв. пост.):

Рассм.

;

Общ. реш. неодн. ур. (3): но ;

; общ. реш. ур. (1): ;

Пост. С опр-м из нач. усл. (2): ;

Реш. зад. Коши (1), (2): .

Задача 8.

- лин. неодн. ур 2 пор.; ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X);

Введём новую неизвю ф-ю , тогда ;

- лин. неодн. ур 1 пор.; соотв. одн. ур.:

Ур. (3) – ур. с разд. перем.: ;

Общ. реш. одн. ур. (3): ;

Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

Р-м.

Рассм. теперь: ;

, - общ. реш. неодн. ур. (1).

Задача 9.

или - лин. неодн. ур 2 пор.;

Ур. (1а) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв. ф-ю ,тогда

- лин. неодн. ур 1 пор.; соотв. одн. ур.:

общ. реш одн. ур. (3):

Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

;

Общ. реш. неодн. ур.(2): рассм. теперь ; , - общ. реш ур. (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргумент Y и новую неизв. ф-ю ,

Тогда

(, т. к. это противоречило бы нач. усл. (3))

;

пост. опр-м из нач. усл. (2), (3):

При X = 0 :

Рассм. теперь: пост. опр-м из нач. усл. (2): , или - реш зад. Коши (1)(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.; хар. ур.:

След, фунд. с-му реш-й ур. (1) образуют ф-и: и

Общ. реш. ур. (1):

Задача 12.

т. ; прямая (M):

Найти интегр. кривую (L) ур-я (1), которая касается прямой (M) в т. .

Пусть ур-е искомой интегр. кривой (1): Y=Y(X); т. к. кривая (L) проходит через т. , то

, (2), т. к. кривая (L) в т. касается прямой (M), то , (3),

След., данная задача предст. задачу Коши (1) (3);

Ур-е (1) - лин. неодн. ур 2 пор. с пост. коэф.; хар. ур.:

Общ. реш. ур. (1):

Рассм.

Опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

Ур. искомой интег. кривой (L):

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

Частные реш – я след. ур – й:

;

;

Причём частные реш – я Ищем в виде:

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (5):

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

Рассм.

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое

Ищем в виде: ;

Рассм. ;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизв. ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм. ;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .

< Предыдущая		Следующая >