Вариант № 12

Задача 1.

Р-м ур. (1) – ур. с раздел. перем.;

- общ. реш. ур. (1) ; пост. С1 опр-м из нач. усл. (2):

;

Задача 2.

разделим перем-е и проинтегрируем:

- общ. интеграл ур-я (1).

Задача 3.

р-м:

В прав. части ур-я (1а) – однор. ф-я;

Введём новую неизв. ф-цию ,

общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 4.

рассм.

В прав. части ур. (1а) – однор. ф-я; введём новую неизв. ф-ю ,

Тогда ;

- общ. решение ур-я (1).

Задача 5.

- мин. неодн. ур. 1 пор.; соотв. одн. ур.:

Общ. реш. одн. ур. (2):

Общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х):

Рассм.

Общ. реш. ур. (1):

Задача 6.

Рассм. ур. (1) : - лин. неодн. ур. 1 пор.;

Соотв. одн. ур.

Общ. реш. одн. ур. (3):

Общ. реш. неодн. ур. (1а) ищем в виде (метод вариации произв пост-х):

Рассм.

Общ. реш ур. (1а):

Пост. С опр-и из нач. усл. (2):

Реш. зад Коши (1), (2):

Задача 7.

- ур-е Бернулли (N=3); примен. метод Бернулли, т. е. положим:

, тогда

рассм. вспомогат. диф. ур-е:

Рассм. частн. реш. ур-я (3) и подст. его в ур. (2):

;

Общ. реш. ур-я (1):

Задача 8.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X), введём новую неизв ф-ю ,

Тогда - ур. C раздел перем.;

общ. реш. ур. (2):

Рассм. теперь - общ. реш. ур-я (1).

Задача 9.

, (1) /X , (1а)

Ур. (1а) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв. ф-ю ,

Тогда и ;

;

;

- общ. реш. ур. (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргум. Y и новую неизв. ф-ю ;

Тогда

1) P=0; - противоречит нач. усл. (3);

2)

Опр-м теперь пост. из нач. усл. (2), (3): при

Пост. опр-м из нач. усл. (2): - решение зад. Коши (1)-(3).

Задача 11.

- лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Характ. ур.:

След. фундам. с-му реш-ий ур-я (1) образуют ф-и и

Общ. реш. ур-я (1):

Задача 12.

т. прямая (m):

Найти интегр. кривую (L) (Y=Y(X)) ур-я (1), к-рая касается прямой (M) в т. .

Пусть ур-е искомой интегр. кривой L имеет вид: Y=Y(X); так как крив. L проходит через т. То y(0)=4, (2); т. к. крив. L в т. касается прямой M, то Таким образом, данная задача предст. собой зад. Коши (1) - (3).

Ур. (1) – мин. одн. ур. 2 пор. C пост. коэф.;

Хар. ур.:

Общ. рещ. ур. (1):

Рассм.

Опр-м пост. , из нач. усл. (2), (3):

- ур-е искомой интегр. кривой (L).

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

След., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно,

Частные реш – я след. ур – й:

;

,

Причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) Ищем в виде: ;

Рассм.

общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4): ;

; ;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

Которое ищем в виде: ;

Рассм.

;

;

; ;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .

< Предыдущая		Следующая >