Вариант № 13

Задача 1

Р-м - ур. с разд. пер.,

- общ. инт-л ур. (1); р-м н. у. (2): ;

- инт. ур-я (1), удовл. н. у. (2).

Задача 2

, - ур. с разд. пер. , - общ. инт. ур. (1).

Задача 3.

Рассм. - одн. ур-е;

Замена перем.: - ур. с разд пер.;

, - общ. инт. ур. (1)

Задача 4.

р-м , - однор. ур.;

Зам. перем.: ;

; ; ; ;

- общ. инт. ур. (1).

Задача 5.

, (1) (2) – лин. неодн. ур-е 1 порядка;

Рассм. соотв. однор. ур-е: (3):

Разделим переем - е:

; - общ. реш. одн. ур. (3),

реш-е неодн. ур. (2) ищем методом вариации произв-х пост-х, т. е. в виде:

- общ. реш. ур (2) и, след., ур-я (1).

Задача 6.

- зад. Коши.

Р-м или , (3) – лин. неодн. ур. 1 пор.;

Р-м соотв. одн. ур.: ; (4)

- общ. реш. ур. (4).

Реш-е неодн. ур. (3) ищем мет. вариации произв. пост-х, т. е. в виде:

Тогда

, - общ. реш. ур. (3);

Пост. С опр – м из нач. усл. (2): ;

, - реш-е задачи Коши (1) – (2).

Задача 8.

Ур-е (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв. ф-ю

- ур с разд. пер.;

- общ. реш. ур.(2);

- общ. реш. ур. (1).

Задача 9.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X), введём новую неизв. ф-ю

- ур. с разд. пер.;

- общ. реш. ур. (1)

Задача 10.

- зад. Коши.

Ур-е (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргумент Y и новую неизв. ф-ю

1) , но это противоречит н. у. (3)

2) , (4) – ур. с разд. пер.;

, или

Пост. С нах-м из н. у. (2), (3):

Пост. нах-м из н. у. (2): ;

- реш. задачи Коши (1) – (3).

Задача 11.

, (1) – лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Хар. ур-е:

Фунд. с-му реш-й ур. (1) образуют ф-и:

Общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Задача 12.

, (1) – лин. одн. ур. 2 пор. с пост. коэф..

Найти интегр. кривую ур-я (1), которая касается прямой Y = X-5 в т. .

Т. к. искомая интегр. кривая Y=Y(X) прох. через т. , то y(0)=-5 , (2);

Т. к. кривая Y=Y(X) в т. касается прямой Y = X-5, то (3).

След., данная задача представляет собой задачу Коши (1) - (3).

Р-м хар. ур-е для диф. ур. (1):

След. общ. реш. ур. (1) имеет вид:

Найдём пост. из нач. усл. (1), (2):

- ур-е искомой интегр. кривой ур. (1), прох. через т. и касающейся в ней прямой Y = X-5.

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я

След. ур – й:

;

, причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

Рассм.

; ;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

Решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м пост. : ;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен); соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;

Рассм.

;

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм.

;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:

.

< Предыдущая		Следующая >