Вариант № 11

Задача 1.

, (1) – ур-е с раздел. перем.;

– общий интеграл ур-я (1).

Задача 2.

Ур-е (1) – ур-е с раздел. перем.:

общий интеграл ур-я (1) имеет вид:

Пост. C опр-м из нач. усл. (2):

инт-л зад. Коши (1), (2) : .

Задача 3.

Ур. (2)- однор. ур-е. Введём новую неизвестную ф-ю тогда

Задача 4.

Введём новую неизв. ф-ю , тогда

Задача 5.

лин. неоднор. ур-ие 1 пор.;

Рассм. соотв. однор. ур.:

- общ. реш. одн. ур-я (2);

Общ. реш-е неодн. ур-я (1) ищем в виде (метод вариации произв. пост-х): ;

;

- общее реш-е ур-я (1)

Задача 6.

Ур. (2) - лин. неодн. ур-ие 1 пор.; рассм. соотв. однор ур.:

, - общ. реш. одн. ур-я (3);

Общ. реш. неодн. ур. (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

- общ. реш. неодн. ур. (2) и след. ур. (1).

Задача 7.

Ур. (1) – ур. Бернулли ; применим метод Бернулли, т. е. положим ,

тогда

Рассм. вспомогат. диф. ур.: - ур-е с разд. перем;

Рассм. частн. реш. ур-я (4) и подст. его в ур-е (3):

- общ. реш. ур. (1); пост. C опр-м из нач. усл. (2):

- реш-е зад. Коши (1), (2).

Задача 8.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-ю Y(X); введём новую неизв. ф-ю тогда

- общ. реш. ур. (2);

Рассм. теперь

- общее реш-е ур-я (1).

Задача 9.

Ур. (1) не содержит явно неизв. ф-цию Y(X); введём новую неизв. ф-ю тогда

- общ. реш. ур. (2); рассм. теперь

, - общ. реш. ур-я (1).

Задача 10.

Ур. (1) не содержит явно аргумент X; введём новый аргум. Y и новую неизв-ю ф-ю

Тогда

Пост-ю С опр-м из усл-я:

При X=0 Y=0 и т. е. можно записать:

(возможен лишь знак “+”) - общ. реш. ур-я (4);

Рассм. теперь:

Пост. определим из нач. усл. (2): при X=0, Y=0, т. е.:

- реш-е зад Коши (1) – (3).

Задача 11.

- лин. однор. ур. 2-го пор. с пост. коэф.;

Рассм. хар. ур.:

След. фунд. с-му реш-й ур-я (1)образуют ф-ии и ;

Общ. реш. ур-я (1) имеет вид:

Задача 12.

т. прямая (M): Y = 4.

Найти интегр. кривую (L) ур-я (1), к-рая касается прямой (M) в т. .

Так как искомая кривая (L) (y=Y(X)) ур-я (1) проходит через т.

То можно записать: y(0)=4 , (2); т. к. эта кривая (L) в т. касается прямой (M) (Y = 4), то вып-ся усл-е: След., данная задача предст. собой задачу Коши (1) – (3) для ур-я (1).

Ур. (1) – мин. однор. ур. 2-го пор. с пост. коэф.; рассм. хар. ур.:

след. общ. реш-е ур-я (1) имеет вид:

Рассм

Нах-м теперь пост. из нач. усл-й (2), (3):

Ур-е искомой интегр. Rривой ур-я (1) имеет вид:

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

, след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я

След. ур – й:

;

, причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е неоднор. диф. ур. (1) ищем в виде: ;

Рассм.

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

Решим с-му ур-й (6), (7), (8) и опр-м пост. : ;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

Которое ищем в виде: ; рассм.

;

; ;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:

; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных,

То есть в виде ,

А неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм. ;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .

< Предыдущая		Следующая >