Вариант № 03

Задача 1

; ; ;

Пост. опр – м из нач. усл. (2):

; ; , - реш. зад. Коши (1),(2).

Задача 2

- ур. с раздел. перем.;

; ;

;

- общее решение уравнения (1).

Задача 3

(1) рассмотрим ; (1A)

В правой части уравнения (1а) - однородная функция; введем новую неизвестную функцию ,

Тогда ,

С>0

;

Общее решение уравнения (1): .

Задача 4

(1) (1а)

В правой части уравнения (1а) – однородная функция; введем новую неизвестную функцию тогда ;

Разделим переменные:

C>0

, - общее решение уравнения (1).

Задача 5

, (1A) – линейное неоднородное уравнение 1 порядка;

Соотв. однор. уравнение: (2)

C>0

Общее решение однородного уравнения (2): ;

Общее решение неоднородного уравнения (1а) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):

рассмотрим ;

Общее решение уравнения (1а):

Постоянную С определим из начальных условий (2):

Решение задачи Каши (1),(2): .

Задача 6

(1)

Рассмотрим или (1а) – лин. неодн. уравнение 1 порядка;

Соотв. однородное уравнение (2)

C>0

Общее реш. неоднор. уравнения (1) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных): ;

Рассмотрим ;

Общее решение уравнения (1) : .

Задача 7

(1) – уравнение Бернулли (N=1/2) .

Применим метод Бернулли, т. е. положим тогда ;

; ; (2)

Рассмотрим вспомогательное диф. уравнение:

; (3) C>0

Рассмотрим частное решение Уравнения (3) и подставим его в уравнение (2):

; разделим переменные:

;

Общее решение уравнения (1): .

Задача 8

(1) (1A) – лин. неоднор. уравнение 2 порядка;

Уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию Y(X); введем новую неизвестную функцию ; тогда ; (2) – лин. неодн. уравнение 1 порядка.

Соотв. однородное уравнение: (3)

; C>0;

Общее решение однородного уравнения (3): ;

Общее решение неоднородного уравнения (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):

Рассмотрим ;

Общее решение уравнения (2): ;

Рассмотрим теперь:

, - общее решение уравнения (1).

Задача 9

, (1) уравнение(1) не содержит явно неизвестную функцию Y(X);

Введем новую неизвестную функцию ; тогда ;

; (2) /X ; (2A)

В правой части уравнения (2а) – однородная функция; вводим новую неизвестную функцию ,

Тогда ; ; ;

; , C>0

,

;

Общее решение уравнения (2): ; рассмотрим теперь

;

общее решение уравнения (1): .

Задача 10

Уравнение (1) не содержит явно аргумент X; введем новый аргумент Y и новую неизвестную функцию , тогда ;

; - уравнение с раздел. переменными;

; C>0

; постоянную определим из начальных условий (1),(2):

При X=2: ;

Рассмотрим теперь ;

Постоянную и знак в правой части равенства определим из начальных условий (2):

Решение задачи Коши (1)-(3): .

Задача 11

, (1) – линейное однородное уравнение 2 порядка с пост. коэф.;

Характеристическое уравнение: ;

Фундаментальную систему решений уравнения (1) образуют функции и ;

Общее решение уравнения (1): .

Задача 12

, (1) т.; прямая (M): ;

Найти интегр. крив. () ур-я (1), которая касается прямой (M) в т. .

Пусть ур. искомой интегр. кривой , проходящей через т., имеет вид:,

Тогда Y(0)=4, (2); а так как крив. L В т. касается прямой M, то , (3)

След. данная зад. предст. зад. Коши (1) - (3) для уравнения (1).

Уравнение (1) – линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами;

Хар. ур.: ; ; ;

Общее решение уравнения (1): ;

Рассмотрим ;

Определим постоянные из начальных условий (2),(3):

, (4)

, (5)

Решим систему уравнений (4),(5) и определим:

Уравнение искомой интегр. кривой. L : .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

Хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского для фунд. с – мы реш – й:

,

след., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец.

Правой частью (квазимногочлен); соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2):

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные

Реш – я след. ур – й:

;

,

Причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е Ищем в виде: ;

Рассм.

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

;

;

;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:

; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ;

Рассм.

;

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде , а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм.

;

;

Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид: .

< Предыдущая		Следующая >