Вариант № 02
Задача 1
, (1) 
, (2) – зад. Коши;
Уравнение (1) – уравнение с разделяющимися переменными;
; 
;
; 
;
- общее решение уравнения (1);
Знак перед корнем и величину С определяем из начального условия (2):
, 
; 
- решение задачи Коши (1), (2).
Задача 2
, (1) - уравнение с раздел. переменными;
;
; 
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
- общее реш – е ур – я (1).
Задача 3
, (1) рассм. 
В правой части уравнения (2) – однор. ф – я; введем новую неизвестную функцию 
;
; 
; 
;
; 
, 
; 
; 
- общий интеграл ур – я (1).
Задача 4
, (1) 
, (2)
В правой части уравнения (2) - однор. ф – я 1 измерения; введем новую неизвестную функцию 
;
Тогда 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; 
, - общий интеграл ур – я (1).
Задача 5
, (1) - линейное неоднородное уравнение 1 порядка;
Соотв. однор. ур-е: 
, (2) 
- ур. с разд. перем.;
; 
; 
;
; 
- общ. реш. одн. ур. (2);
Общ. реш. неодн. ур. (1) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. 
;
; 
;
- общее решение ур (1).
Задача 6
(1); рассм. 
Или 
, (2) - линейное неоднородное уравнение 1 порядка;
Соотв. однор. ур-е: 
(3); 
;
; 
;
; 
; 
- общее решение однор. ур-я (3);
Общее решение. неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. 
;
; 
;
;
- общее реш-е ур-я (2) и, след., общее решение. ур-я (1).
Задача 7
- задача Коши;
Ур (1) – уравнение Бернулли; применим метод Бернулли, т. е. положим
; тогда 
;
; 
;
;
Рассм. вспомогат. диф. ур-е: 
; 
; 
;
; 
; 
;
Рассм. частное решение 
ур-я (4) и подст. его в ур-е (3):
; 
; 
; 
;
; 
- общее реш-е ур-я (1);
Пост. 
Определим из нач. усл. (2): 
;
- реш – е задачи Коши (1), (2).
Задача 8
(1)
(1а) - линейное неоднородное диф. уравнение 2 порядка;
Ур – е (1а) не содержит явно неизв. ф – ю 
; введём новую неизв. ф – ю 
,
Тогда 
; 
; - лин. неодн. диф. ур - е 1 порядка;
Соотв. однор. ур-е: 
; 
; 
;
; 
;
- общее реш-е однор. ур-я (3);
Общее решение. неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. 
;
; 
; 
;
- общее реш-е неоднор. ур-я (2); рассм. теперь 
;
- общее реш-е ур-я (1).
Задача 9
(1) - лин. неодн. диф. ур - е 2 порядка;
Ур – е (1) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю ,
Тогда 
- лин. неодн. диф. ур - е 1 порядка;
Соотв. однор. ур-е: 
;
;
; 
;
- общее реш-е однор. ур-я (3);
Общее решение. неоднор. ур-я (2) ищем в виде (метод вариации произв. постоянных):
; рассм. 
;
;
; 
;
Рассм. теперь 
;
- общее реш-е ур-я (1).
Задача 10
- задача Коши;
Ур – е (1) не содержит явно аргумент 
;
Введём новый аргумент 
И новую неизв. ф – ю 
;
Рассм. 
; 
;
; 
, так как это противоречило бы нач. усл. (3); 
; 
; 
; 
;
; 
; 
; пост. 
определим из нач. усл. (2), (3): при 
;
Т. е. 
; 
; 
; 
;
; 
;
; 
;
Пост. 
определим из нач. усл. (2): 
;
- реш – е задачи Коши (1) - (3).
Задача 11
(1) - лин. однор. диф. ур - е 2 порядка с пост. коэффициентами;
Характеристическое ур – е: 
;
; 
;
След., фундаментальную систему решений ур – я (1) образуют ф – и 
;
Общее реш-е ур-я (1) имеет вид: 
.
Задача 12
(1); т. 
; прямая 
.
Найти интегральную кривую 
ур – я (1), которая касается прямой 
В т. .
Пусть ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: 
; так как кривая Проходит через т. , то 
, а так как кривая в т. касается прямой С угловым коэф. 
, то 
, след., данная задача представляет задачу Коши (1) - (3) для ур – я (1);
Ур – е (1) - лин. однор. диф. ур - е 2 порядка с пост. коэффициентами;
Характеристическое ур – е: 
; 
;
Общее реш-е ур-я (1): 
;
Рассм. 
; пост. 
определим из нач. усл. (2), (3):
;
;
ур – е искомой интегральной кривой имеет вид: 
.
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
Хар. ур. для ур – я (1): 
след., фунд. с – му реш – й ур – я (1)
Образуют ф – и 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
Хар. ур. для ур – я (1): 
,
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
Опр – ль Вронского 
, след., с – ма ф – й 
линейно независима;
Общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где 
- общ. реш. однор. ур. (2), а функции 
суть, соответственно, частные
Реш – я след. ур – й:
;
;
,
Причём частные реш – я Ищем в виде:
.
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (5): 
;
Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: 
;
Частное реш – е 
Ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
Рассм. 
; 
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
Реш. зад. Коши (1) - (4): 
.
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид:
; где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.:
хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и 
А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде 
, а неизвестные ф – и 
опр – м из с – мы ур – й:
Рассм. 
;
;
Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
