Вариант № 01
Задача 1.
- Зад. Коши; ур. (1) – ур. с раздел. перем.
; 
; 
;
; 
;
; 
; 
;
Пост. 
опр – м из нач. усл. (2): 
;
Возможен лишь знак «+», т. е. 
; 
; 
;
- интеграл зад. Коши (1),(2)
Или реш. зад. Коши (1),(2): 
.
Задача 2.
, (1) – ур. с раздел. перем. 
; 
;
;
;
; общ. реш. ур. (1): 
.
Задача 3.
, (1) 
; 
(1A)
В прав. части ур. (1а) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю 
, тогда
, 
; 
; 
; 
;
; 
, - общий интеграл ур-я (1).
Задача 4.
, (1) рассм. 
, (1а)
В прав. части ур. (1а) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю ,
Тогда , ; 
; 
;
; 
; 
, - общ. реш. ур. (1).
Задача 5
, (1) 
; 
;
, (1а) - лин. неодн. ур. 1 пор.;
Примен. метод Бернулли, т. е. положим 
, тогда 
;
; 
;
Рассм. вспом. Ур. 
, (3) 
; 
; 
; 
;
Рассм. частн. реш. 
ур. (3) и подст. его в ур. (2):
; 
; 
;
;
Рассм. 
;
;
общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 6
, (1) 
, (1а) - лин. неодн. ур. 1 пор.;
Примен. метод Бернулли, т. е. положим 
, тогда 
;
; 
, (2)
Рассм. вспом. ур. 
, (3) 
;
;
;
;
Рассм. частн. реш. 
ур. (3) и подст. его в ур. (2): 
;
; 
; общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид:
.
Задача 7 
- зад. Коши.
Ур. (1) – ур. Бернулли 
; применим метод Бернулли, т. е. положим ,
Тогда ; 
;
; (3)
Рассм. вспом. диф. ур. 
, (4) - ур. с разд. перем.;
; 
;
;
;
Рассм. частн. реш. 
ур. (4) и подст. его в ур. (3):
; 
; 
; 
; 
; 
; 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
;
Пост. опр – м из нач. усл. (2): 
; 
; 
; 
Реш. зад. Коши (1),(2): 
.
Задача 8
, (1) или 
, (1а) - лин. неодн. ур. 2 пор.;
ур. (1а) не содержит явно неизв. ф – ю 
; введём новую неизв. ф – ю 
, тогда 
;
; (2) - лин. неодн. ур. 1 пор.;
Примен. метод Бернулли, т. е. положим 
, тогда 
;
; 
, (3) рассм. вспом. диф. ур. 
, (4)
; 
; 
; 
;
Рассм. частн. реш. 
ур. (4) и подст. его в ур. (3): 
; 
; 
;
общ. реш. ур. (2) имеет вид: 
; Рассм. теперь 
;
общ. реш. ур. (1а) и, след., ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 9
(1)
Ур. (1) не содержит явно неизв. ф – ю ; введём новую неизв. ф – ю ,
Тогда ; 
, (2)
В прав. части ур. (2) – однор. ф – я; введём новую неизв. ф – ю 
,
Тогда 
, 
; 
; 
;
; 
;
- Общ. реш-е ур-я (2); рассм. теперь 
;
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 10
- зад. Коши.
Ур. (1) не содержит явно аргумент 
, введём новый аргумент 
и новую неизв. функцию 
; тогда 
; 
, - ур. с разд. перем.;
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3):
При 
Пост. 
опр – м. из нач. усл – я (2): 
- реш – е зад. Коши (1) – (3).
Задача 11
- лин. однор. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
Хар. ур.: 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 12
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
Т. 
; прямая 
.
Найти интегральную кривую 
ур – я (1), к – рая касается прямой 
В т. 
.
Пусть ур – е искомой интегральной кривой Имеет вид: 
;
Так как кривая Проходит через т. 
, то 
, а так как кривая 
в
Т. Касается прямой 
, то 
, след., данная задача представляет задачу Коши (1) – (3) для ур – я (1) с нач. усл. (2) – (3).
Рассм. хар. ур. для ур – я (1): 
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
,
Рассм. 
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3):
ур – е искомой интегральной кривой Имеет вид: 
.
Задача 13
- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): 
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 14
- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;
хар. ур. для ур – я (1): 
,
След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и 
;
Опр – ль Вронского 
,
След., с – ма ф – й 
линейно независима;
Общ. реш. ур. (1) имеет вид: 
.
Задача 15
- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где 
- общ. реш. однор. ур. (2), а функции 
суть, соответственно, частные реш-я
След. ур-й: 
; 
;
, причём частные реш – я Ищем в виде:
.
Задача 16
- зад. Коши.
Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (5): 
;
Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: 
;
Частное реш – е 
Ищем в виде: 
;
Рассм. 
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Рассм. 
; 
;
Опр – м пост. 
из нач. усл – й (2), (3), (4):
;
;
;
Реш. зад. Коши (1) - (4): 
.
Задача 17
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.: 
хар. ур. для ур – я (2): 
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),
Которое ищем в виде: 
;
Рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 18
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);
Соотв. однор. диф. ур.:
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;
Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
;
Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде:
; рассм. 
;
;
Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: 
.
Задача 19
- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;
Соотв. однор. диф. ур.: 
Хар. ур. для ур – я (2): 
;
След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и 
;
А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: 
;
Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде
, а неизвестные ф – и 
опр – м из с – мы ур – й:
Рассм. 
;
Общее реш – е. ур - я (1) имеет вид:
| Следующая > |
|---|
