Вариант № 04

Задача 1

– зад. Коши;

Уравнение (1) – ур - е с разд. переменными; ; ;

Рассмотрим

; ; Или , - общ. интеграл уравнения (1);

Пост. Опр – м из нач. усл. (2) :

, - интеграл задачи Коши (1), (2).

Задача 2

, (1) или , (1а) - ур - е с разд. переменными;

; ;

,

общее решение ур (1):

Задача 3

, (1) ; ; (1 а)

В правой части ур. (1а) – однор. ф - я; введем новую неизвестную ф - ю ;

Тогда ; ; ; ;

; ;- общий интеграл уравнения (1).

Задача 4

, (1) , (1а)

В правой части ур. (1а) - одн. ф - я; введем новую неизв. ф-ю , Тогда ; ; ; Разделим переменные: ; ; ; ;

, - общ интеграл ур-я (1).

Задача 5

, (1) или , (1а) - линейное неоднородное уравнение 1-го порядка;

Соотв. однор. ур-е: , (2) разделим переменные: ; ;

, > 0; ; , ;

Общее решение однородного уравнения (2): , ;

Общее решение неоднородного уравнения(1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

; рассмотрим ;

; ; ;

Общее решение уравнения (1): .

Задача 6

, (1) или , (1а) – лин. неоднор. ур. 1-го порядка;

Соотв. однор. уравнение: , (2) ; ;

;

;

, > 0

; ,

Общее решение однородного уравнения (2): ,

Общее решение неоднородного уравнения (1а) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

;

;

; общее решение уравнения (1): .

Задача 7

,

Или , (1а) - уравнение Бернулли (N = -1)

Применим метод Бернулли, т. е. положим , тогда ;

; ; (2)

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение: , (3)

; ; ,

, ; рассмотрим частное решение уравнения (3) и подставим

его в уравнение (2): ; ;

; ;

Рассмотрим

; ;

, > 0 ; ,

Общее решение уравнения (1): , ;

Постоянную С определяем из начального условия (2): , ;

Решение зад. Коши (1), (2): .

Задача 8

, (1) или ,

, (1а) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка;

Уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

Введем новую неизвестную функцию , тогда ;

, (2) – линейное неоднородное уравнение 1 порядка

Соотв. однородное уравнение: , (3) ; ;

, > 0 ;

; ,

Общее решение однородного уравнения (3): ,

Общее решение неоднородного уравнения (2) ищем в виде (метод вариации произв. пост.):

; рассмотрим: ;

; ; ;

Общее решение уравнения (2): ;

Рассмотрим теперь: ; ;

Общее решение уравнения (1) имеет вид: , .

Задача 9

, (1)

Уравнение (1) не содержит явно неизвестную функцию у(х);

Введем новую неизвестную функцию , тогда ;

; ; (2) - уравнение Бернулли (N=2);

Применим метод Бернулли т. е. положим , тогда ;

; , (3)

Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение: , (4)

; ; , > 0

; ,

Рассмотрим частное решение ур – я (4) и подставим его в уравнение (3):

; ; ; ; ;

Общее решение уравнения (2): ,

Рассмотрим теперь ; ;

Общее решение ур - я (1): .

Задача 10

- зад. Коши; уравнение (1) не содержит явную аргумент х ;

Введем новый аргумент у и новую неизвестную функцию;

Тогда ; ; ;

1) ; ; - это противоречит начальному условию (2);

2) ; ; ;

Постоянную С определим из начальных условий (2), (3):

; ;

Рассмотрим теперь ; ; ;

Постоянную определим из начального условия (2): ;

; ; ;

, - реш. зад. Коши (1)-(3).

Задача 11

, (1) - линейное однор. уравнение 2 порядка с пост. коэффициентами;

Хар. ур-е ; ; ;

фунд. систему решений уравнения (1) образуют функции и ;

Общее решение уравнения (1): .

Задача 12

, (1); т. М0(0;1); прямая (M):.

Найти интегральную кривую (L) уравнения (1), которая касается прямой (M) в т. М0.

Так как искомая интегральная кривая L уравнения (1) проходит через т. М0(0;1), то

,(2), а так как кривая L в т. М0 касается прямой M, то , (3), следовательно данная задача представляет зад. Коши (1)-(3);

Уравнение (1)- линейное однородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами;

Хар. уравнение:;; общ. реш. ур-я (1): ;

Рассмотрим

Определим постоянные из начальных условий (2), (3):

; ;

уравнение искомой интегральной кривой (L): .

Задача 13

- лин. однор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 14

- лин. однор. диф. ур. 4 пор. с пост. коэф. ;

хар. ур. для ур – я (1): ,

След., фунд. с – му реш – й ур – я (1) образуют ф – и ;

Опр – ль Вронского

След., с – ма ф – й линейно независима;

Общ. реш. ур. (1) имеет вид: .

Задача 15

- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а функции суть, соответственно, частные реш – я след. ур – й:

;

; причём частные реш – я Ищем в виде:

.

Задача 16

- зад. Коши.

Ур – е (1)- лин. неоднор. диф. ур. 3 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (многочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (5): ;

Общ. реш. однор. ур. (5) имеет вид: ;

Частное реш – е Неодн. ур – я (1) ищем в виде: ;

Рассм.

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Рассм. ; ;

Опр – м пост. из нач. усл – й (2), (3), (4):

; ;

;

Реш. зад. Коши (1) - (4): .

Задача 17

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1),

Которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 18

- лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф. и со спец. правой частью (квазимногочлен);

Соотв. однор. диф. ур.:

Хар. ур. для ур – я (2): ;

Общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Структура общего реш – я неоднор. ур - я (1) имеет вид: ;

Где - общ. реш. однор. ур. (2), а - частное реш – е неодн. ур – я (1), которое ищем в виде: ; рассм.

;

;

Общее реш – е неоднор. ур - я (1) имеет вид: .

Задача 19 - лин. неоднор. диф. ур. 2 пор. с пост. коэф.;

Соотв. однор. диф. ур.: хар. ур. для ур – я (2):

След., фунд. с – му реш – й ур – я (2) образуют ф – и ;

А общ. реш. однор. ур. (2) имеет вид: ;

Общ. реш. неоднор. ур. (1) будем искать методом вариации произвольных постоянных, то есть в виде , а неизвестные ф – и опр – м из с – мы ур – й:

Рассм.

;

Общее реш – е. ур - я (1): .

< Предыдущая		Следующая >