Вариант № 24

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти длину вектора , если

Рассм. вектор и рассм.

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы ,

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ; где ;

Величины Вычислим из условия: ;

Задача 4 Найти наименьший внутренний угол треугольника с вершинами

Рассм. векторы

Вычислим

; ;

имеем ,

След. все углы Острые и - наименьший внутренний угол ; .

Задача 5 Найти момент силы , приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

;

2) ; напр. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Найти проекцию вектора на вектор , если

Рассм. векторы

Задача 7 Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках

Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение

;

Искомый объём пирамиды равен

Задача 8 В треугольнике известны координаты двух вершин: И точки пересечения медиан . Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины .

1) Определим координаты точки Как середины отрезка : ;

2) Определим координаты вершины , используя равенство , где ;

Рассм.

;

3) составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. и рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 9 В параллелограмме известны уравнения сторон и координаты точки пересечения диагоналей Составить уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки из условия, что т. - середина отрезка :

;

3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть - искомая плоскость; рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Задача 11 Составить уравнение прямой , которая, проходит через точку перпендикулярно к вектору и пересекает прямую

Запишем канонические ур-я прямой ; рассм. т. и рассм. векторы ; пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; тогда векторы; рассм. вектор ;

Вектор , след. ; векторы , след. векторное произведение можно взять в качестве направл. вектора прямой; ;

Выберем ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить параметрические уравнения прямой , которая лежит в плоскости

, параллельна плоскости и пересекает прямую

1) , След. в качестве направл. вектора прямой можно взять вектор ;

2) пересекает прямую ; определим точку пересечения прямой с плоскостью

Запишем параметрические уравнения прямой : и подставим в ур-е плоскости ;

;

3) запишем канонические уравнения прямой как прямой с направл. вектором , проходящей через

Точку : ;

Параметрические уравнения прямой : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

;

, , ; реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр. - невырожденная

И существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ,

Так как , то по теореме Кронекера-Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор-столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения ;

рассм.

; - собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >