Вариант № 23

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Найти угол между векторами , если и векторы взаимно перпендикулярны.

Пусть - искомый угол между векторами ; рассм. векторы ; по усл-ю задачи ,

Т. е.

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы, если

Рассм. вектор ; рассм. единичный направляющий вектор данной оси ; ; величину Вычислим из условия: ; .

Задача 4 Найти модуль вектора , если

Вычислим

; .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Найти проекцию вектора на вектор , где

Рассм. векторы

; вычислим ; .

Задача 7 Вычислить объём пирамиды с вершинами в точках

Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение

;

Искомый объём пирамиды равен .

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Найти угол и составить уравнение средней линии, параллельной стороне

1) определим угол из равенства: ;

Рассм. векторы ; вычислим ; ;

2)составим уравнение средней линии ; вычислим координаты точек: ;

; составим теперь уравнение прямой : .

Задача 9 В равнобочной трапеции известны координаты трёх вершин: Найти координаты вершины и острый угол, если стороны параллельны.

1) Рассм. векторы и рассм. скал. произведение След. - острый (- равные острые углы трапеции );

Вычислим

;

2) составим уравнение стороны Как прямой, проходящей через точку Параллельно прямой

Составим уравнение прямой из условия, что она пересекает прямую под острым углом :

Рассм. угол между прямыми : Вычислим

; уравнение прямой :

Определим координаты точки Как точки пересечения прямых :

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть - искомая плоскость; рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ; , т. е.

Задача 11 Составить уравнение прямой , которая, проходит через точку перпендикулярно к вектору и пересекает прямую .

Рассм. т. и рассм. векторы ;

Пусть - плоскость, в которой лежат прямые ; тогда векторы ; рассм. вектор ; вектор , след. ;

Векторы , след. векторное произведение можно взять в качестве направл. вектора прямой ;

; выберем ;

Запишем канонические ур-я прямой как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить параметрические уравнения прямой , которая, проходит параллельно плоскостям

и пересекает прямые

1) , след. в качестве направл. вектора прямой можно взять вектор ; выберем ;

2) рассм. плоскость , проходящую через прямую и искомую прямую ; рассм. точку ; рассм. норм. вектор ;

Выберем ;

Ур-е плоскости :

3)определим точку пересечения прямой и плоскости :

Рассм. параметрические ур-я прямой : ; подставим в ур-е

Плоскости : ;

;

Искомая прямая проходит через точку ( пересекает прямую в точке); составим теперь ур-е прямой : ; параметрические ур-я прямой : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

;

Реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: , , ; вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр. - невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

; находим вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;