Вариант № 25
Задача 1 Разложить вектор По векторам
и
.
Пусть , т. е.
;
След., вектор .
Задача 2 Найти длину диагонали параллелограмма, построенного на векторах , если
Рассм. диагонали параллелограмма ;
Вычислим ;
;
Задача 3 Показать, что точки Являются вершинами параллелограмма и найти проекцию одной из диагоналей на большую сторону параллелограмма.
Рассм.
, след.
- параллелограмм (так как две противоположные стороны параллельны и равны);
Рассм. Рассм.
;
,
След. - большая сторона параллелограмма
; рассм. диагональ
;
Вычислим Вычислим
;
.
Задача 4 Длина гипотенузы прямоугольного треугольника
равна
. Вычислить
Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке
относительно точки
, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы
1) , где
;
;
;
2) ;
Направл. косинусы вектора :
;
;
.
Задача 6 Треугольник построен на векторах
Найти длину высоты
, если векторы
взаимно перпендикулярны и по модулю равны
Рассм. векторы рассм.
;
;
;
;
Задача 7 Найти координаты вершины тетраэдра, если известно, что она лежит на оси
, объём тетраэдра равен
,
.
Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т.
);
Рассм. в-ры: ;
Рассм. смешанное произв-е:
Рассм. объём тетраэдра :
;
;
;
;
;
; след., возможные положения искомой т.
:
;
.
Задача 8 В треугольнике известны координаты двух вершин:
И точки пересечения медиан
. Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины
.
|
1) Определим координаты точки Как середины отрезка
:
;
2) Определим координаты вершины , используя равенство
, где
;
Рассм.
;
3) составим ур-е высоты : рассм. в-р
;
Рассм. т. И рассм. в-р
; тогда по условию задачи
и
и, след., ур-е прямой
, проходящей через
Перпендикулярно в-ру
, можно записать в виде:
т. е.
.
Задача 9 В параллелограмме известны уравнения сторон
и координаты точки пересечения диагоналей
Составить уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.
1) определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
2) определим координаты точки из условия, что т.
- середина отрезка
:
;
3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки
:
;
4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
параллельно
Прямой ;
5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку
Параллельно
Прямой ;
6) определим координаты точки как точки пересечения прямых
:
;
7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки
:
.
Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки
Пусть - искомая плоскость; рассм. векторы
;
Рассм. норм. вектор ;
Рассм. произв. т. и рассм. вектор
;
, т. е.
;
Задача 11 Составить уравнение прямой , которая, проходит через точку
и пересекает две прямые
и
.
Рассм. направл. векторы прямых ;
Рассм. т.; рассм. векторы
;
Пусть - плоскость, в которой лежат прямые
; пусть
- плоскость, в которой лежат прямые
; тогда искомая прямая
есть линия пересечения плоскостей
;
;
;
В качестве направл. вектора прямой можно взять вектор
; выберем
;
Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно
Вектору :
; параметрические ур-я прямой
:
Задача 12 Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку перпендикулярно прямой
.
Запишем канонич. уравнения прямой в виде:
; её направл. вектор
;
Рассм. произв. прямую , удовлетв. условию задачи; рассм. произв. точку
и её направл. вектор
;
, т. е.
;
Плоскость и есть искомое геометрическое место.
Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением
Определителя по первой строке.
1) Непосредственное вычисление:
2) Разложение по 1-й строке:
Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:
Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где
;
;
;
Рассм. опред-ль матрицы :
,
След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр.
;
1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: ,
,
, где
;
;
;
;
,
,
;
реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:
вектор–решение с-мы (1):
;
2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :
, след., матр.
- невырожденная и существует обратная матр.
;
Умножим рав-во (1) слева на матрицу :
,
; вычислим обратную матр.
:
Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы
и составим из них м-цу
:
Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу
Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль
и получим обратную матр.
:
Находим теперь вектор-решение :
Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.
Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:
ранг матрицы
, след. данная система векторов линейно независима.
Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.
Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:
имеем
;
Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как
, то система имеет бесконечное множество решений; объявим
свободной переменной и выпишем общее решение системы в координатной форме:
общее решение системы имеет вид:
Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через
, если
Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы
и
Вектор - столбцы имеют вид:
Рассм. ;
Вычислим матрицу .
Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей
1) Находим собств. значения линейного преобразования
, т. е. корни характеристического уравнения
:
Рассм.
- собств. значения (действ.) лин. преобр-я
;
2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям
:
А) рассм.
Рассм.
Пусть
, тогда вектор
;
Б) рассм.
Рассм.
Пусть , тогда
,
вектор
;
Пусть , тогда
,
вектор
;
След. собств. векторы линейного преобразования суть:
;
;
.
< Предыдущая |
---|