Вариант № 20

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е.

След. вектор .

Задача 2 Найти длину вектора , если

Вычислим

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы,

Если

Рассм. вектор ;

Рассм. единичный направляющий вектор данной оси ; ;

Величину Вычислим из условия: ;

; ;

Задача 4 Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору и

, след. вектор Можно представить в виде ;

По условию задачи ;

Вычислим .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Определить из условия, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна

; рассм. ;

Задача 7 Можно ли векторы Взять за базисные в трёхмерном пространстве?

Рассм. смешанное произведение

; след., векторы не компланарны, т. е. они линейно независимы и их можно взять за базисные векторы в трёхмерном пространстве.

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Составить уравнение высоты и определить острый угол между этой высотой и стороной

1)составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т.И рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. ; ;

2) определим острый угол между прямыми по ф-ле: , где ,

А ; .

Задача 9 Известны координаты вершин четырёхугольника Доказать, что - трапеция и найти её площадь.

1) Рассм. в-ры ;

2) Рассм. в-ры ;

Площадь трапеции ;

Вычислим

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить уравнение медианы треугольника , проведённой из вершины , если и .

1)Определим координаты точки (середины стороны ):

2)составим уравнение медианы Треугольника как уравнение прямой, проходящей через точки :

Задача 12 Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды на основание , если

Рассм. векторы ; рассм. векторное произв-е ; рассм. ;

Вектор перпендикулярен плоскости основания , след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты пирамиды ; составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : , след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и

Существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. : находим алгебр. дополнения Для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет единственное решение; приведём расширенную матрицу данной системы к диагональному виду и выпишем общее решение системы в координатной форме: