Вариант № 19

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Найти длину вектора , если

Вычислим

.

Задача 3 Найти проекцию вектора на ось, Составляющую с координатными осями углы , если

Рассм. вект. ; пусть - напр. вектор оси; ; определим из условия: ; ;

; ; , по условию , след. ,

След., ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Доказать, что векторы и взаимно перпендикулярны.

Рассм. скалярное пр - е .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки,

А также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 В треугольнике с вершинами Найти длину высоты

Рассм. ;

Рассм. ;

Задача 7 Можно ли векторы взять за базисные в трёхмерном пространстве?

Рассм. смешанное произведение

; след., векторы не компланарны, т. е. они линейно независимы и их можно взять за базисные векторы в трёхмерном пространстве.

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Составить уравнение высоты и определить острый угол между этой высотой и стороной

1)составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. И рассм. в-р ; тогда по условию задачи и

и, след., ур-е прямой , проходящей через перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. ; ;

2) определим острый угол между прямыми по ф-ле: , где ,

А ; .

Задача 9 Известны координаты вершин четырёхугольника

Доказать, что - трапеция и найти её площадь.

1) Рассм. в-ры ;

2) Рассм. в-ры ;

Площадь трапеции ;

Вычислим

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Задача 11 Через точку провести прямую , параллельную двум плоскостям: .

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды на основание , если

Рассм. векторы ;

Рассм. векторное произв-е ;

Рассм. ; вектор перпендикулярен плоскости основания , след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты пирамиды ; составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ;

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр. - невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратн. матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в координатной форме:

общее решение системы имеет вид:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм. ;

рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая		Следующая >