Вариант № 18

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Найти углы между векторами , если

Угол между векторами определим из равенства: ;

Вычислим ;

Рассм. ;

Угол между векторами определим из равенства: ;

Вычислим ; ; .

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Найти координаты вектора , если он коллинеарен вектору , образует острый угол с осью

Пусть искомый вектор ; ;

; по условию задачи, вектор Образует острый угол с осью , след.,

И след. искомый вектор .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки,

А также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Найти координаты вектора , если он перпендикулярен векторам , Образует острый угол с осью и .

Пусть , причём ( т. к. Образует острый угол с осью OX );

;

Решим с-му ур-й (1) – (3) и опр-м координаты вектора :

;

Но , след. выбираем , т. е. ; .

Задача 7 При каком значении точки будут лежать в одной плоскости?

Рассм. векторы ; рассм. смешанное произведение

След. при векторы компланарны и точки лежат в одной плоскости.

Задача 8 В треугольнике известны координаты вершин: .

Составить уравнение высоты и определить острый угол между этой высотой и стороной

1)составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. И рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. ; ;

2) определим острый угол между прямыми по ф-ле: , где , а ; .

Задача 9 Известны координаты вершин четырёхугольника: Доказать, что - трапеция и найти её площадь.

1) Рассм. в-ры ;

2) Рассм. в-ры ;

Площадь трапеции ;

Вычислим

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку

Пусть - искомая плоскость; рассм. направл. вектор оси ;

Рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор

Рассм. произв. т. И рассм. вектор ;

, т. е.

Задача 11 Через точку провести прямую , параллельную двум плоскостям: .

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. направл. вектор прямой : ;

Рассм. ; запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А

Параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение высоты, опущенной из вершины треугольной пирамиды на основание , если

Рассм. векторы ; рассм. векторное произв-е

; рассм. ;

Вектор перпендикулярен плоскости основания , след. его можно взять в качестве направл. вектора искомой высоты пирамиды ; составим теперь уравнение высоты Как уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору : .

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы :

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр.

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;