Вариант № 10

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Косинус угла между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим ; ; .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Вычислить , если

Рассм.

; по условию задачи угол - острый, след. ;

Вычислим искомое скал. произв-е .

Задача 7 Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы и рассмотрим смешанное

Произведение , след. векторы Компланарны

И, след., точки лежат в одной плоскости.

Задача 8 Найти точку , симметричную точке Относительно прямой .

Рассмотрим один из нормальных векторов прямой ; его можно взять в качестве направляющего вектора прямой и записать уравнение прямой в виде:

или определим координаты точки пересечения прямых

И: ;

Определим теперь координаты искомой точки из условия, что т. есть середина отрезка :

Задача 9 Найти координаты вершин и уравнения диагоналей квадрата , если известны уравнение одной стороны и координаты точки пересечения диагоналей .

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. и

Составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам

Пусть - искомая плоскость;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т и рассм. вектор ; ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ; рассм. ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью :

;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где

Рассм. опред-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно примен. формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;