Вариант № 09

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

след. вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Определим из равенства: ;

Вычислим , след., , т. е. и .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки,

А также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Вычислить , если

Рассм. откуда ; по условию задачи, угол - острый,

След. ; след., искомое скалярное произведение .

Задача 7 Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное произведение , след. векторы не компланарны и, след. точки не лежат в одной плоскости.

Задача 8 Найти точку , симметричную точке Относительно прямой .

Рассмотрим один из нормальных векторов прямой ; его можно взять в качестве направляющего вектора прямой и записать уравнение прямой в виде:

или определим координаты точки пересечения прямых И : ;

Определим теперь координаты искомой точки A из условия, что т. есть середина отрезка :

Задача 9 Найти координаты вершин и уравнения диагоналей квадрата , если известны уравнение одной стороны и координаты точки пересечения диагоналей .

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через

Т. И составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если

Рассмотрим вектор и возьмём его в качестве нормального вектора искомой плоскости : ; составим уравнение плоскости :

или

Задача 11 Через точки Проведена прямая. Определить точки пересечения этой прямой с координатными плоскостями.

Рассм. в-р рассм. в-р ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

1)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

2)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

;

3)определим т. пересечения прямой с координатной плоскостью :

Задача 12 Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через

т. А параллельно вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью :

;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1)непосредственное вычисление:

;

2)разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы : ,

След., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему уравнений (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

решение с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2)получим решение с–мы ур–й (1) с помощью обратной матрицы :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

;

Транспонируем матрицу и получим «присоединённую» матрицу ;

Разделим все элементы присоединённой матрицы на определитель и получим обратную матрицу : ; находим теперь вектор-решение .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду: ;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений; объявим свободными переменными и выпишем общее решение системы в координатной форме: