Вариант № 08

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим

Задача 4 Вычислить косинус угла, образованного векторами и .

Косинус угла между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где

;

2) ;

Направл. косинусы вектора :

Задача 6 Найти площадь треугольника, построенного на векторах как на сторонах, если

Задача 7 Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассмотрим векторы И рассмотрим смешанное произведение , след., векторы Компланарны и, след., точки лежат в одной плоскости.

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку и перпендикулярной к прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ;

Рассм. т. И рассм. в-р ; тогда по условию и

Ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 9 Найти координаты вершин и уравнения сторон квадрата , если известны уравнение одной стороны и координаты точки пересечения диагоналей .

1) составим ур-я диагоналей квадрата как ур-я прямых на пл-ти , проходящих через

Т. И составляющих угол со стороной ( ),

Т. е. прямых, для которых выполняются след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

2) определим координаты вершин квадрата:

Т.- точка пересечения прямых : ;

Т.- точка пересечения прямых : ;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

;

Координаты точки определим из условия, что т.Есть середина отрезка :

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , если

Пусть - искомая плоскость; рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 11 Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А)

Рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Б) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость .

Пусть т. - искомое основание перпендикуляра и - искомый перпендикуляр к плоскости ;

В качестве направл. вектора прямой возьмём нормальный вектор плоскости : и запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Параметрические ур-я прямой :

Определим координаты т. как точки пересечения прямой с плоскостью: ;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

;

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме:

, (1) , где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы :

След., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему уравнений (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

; ;

решение с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим решение с–мы ур–й (1) с помощью обратной матрицы :

, след., матр. - невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем матрицу и получим «присоединённую» матрицу

Разделим все элементы присоединённой матрицы на определитель и получим обратную матрицу :

;

Находим теперь вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

;

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;