Вариант № 11

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След. вектор .

Задача 2 Найти угол между векторами , если

Угол между векторами Определим из равенства: ;

Вычислим

;

Рассм. ;

;

; .

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Рассм. векторы ; ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Определить, при каком векторы будут взаимно перпендикулярными.

; рассм. .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Является ли четырёхугольник с вершинами в точках параллелограммом? Если да, то найти его площадь.

Рассм. векторы ; , след. , - параллелограмм (так как у него противоположные стороны параллельны и равны); рассм. вектор ;

; вычислим ;

Задача 7 Лежат ли точки в одной плоскости?

Рассм. векторы и рассм. смешанное произведение

, след. векторы не компланарны

И след. точки не лежат в одной плоскости.

Задача 8 Определить острый угол между высотой и медианой треугольника , проведёнными из вершины , если координаты вершин известны .

Рассмотрим один из направляющих векторов медианы

;

Рассм. И рассм. один из направляющих векторов высоты : (т. к. );

Определим угол между векторами из равенства: ;

Вычислим

; искомый острый угол между прямыми равен .

Задача 9 Найти площадь ромба и координаты его вершин, если одна из его сторон и одна из диагоналей лежат, соответственно на прямых , а длина диагонали равна Сколько решений имеет задача?

Пусть - вершина ромба, лежащая на пересечении прямых ; ;

Возможны два положения противоположной вершины ромба: (так как длина диагонали равна 12); диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке их пересечения делятся пополам, след., возможные положения центра симметрии ромба суть (середина отрезка ) и (середина отрезка ),

А диагонали перпендикулярны прямой , т. е. параллельны оси ;

Уравнения диагоналей

Координаты вершин определим как координаты точек пересечения прямой с диагоналями :

; ;

Координаты вершин определим из условия, что т. - середина отрезка , а т. - середина отрезка :

;

; площади ромбов равны:

; ;

Задача имеет два решения.

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки параллельно вектору

Пусть - искомая плоскость; рассм. вектор ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ; .

Задача 11 Составить канонические и параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей: .

Рассм. норм. векторы ;

Рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Найти проекцию точки на прямую , заданную как пересечение двух плоскостей:

Рассм. норм. векторы ; рассм. направл. вектор прямой : ;

Определим какую-либо точку ; рассм.

Положим , тогда ;

Запишем канонические ур-я прямой как ур-я прямой, проходящей через т. параллельно вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Рассм. плоскость , проходящую через точку перпендикулярно прямой : ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Найдём теперь искомую проекцию точки на прямую как точку пересечения плоскости и

Прямой: ;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) непосредственное вычисление:

2) разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. определитель матрицы : ,

след., матрица - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матрицу ;

1) решим систему ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул:

, , , где ,

; ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр. - невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим равенство (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение : .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;