Вариант № 02

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

.

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось Вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Дано: Найти, при каком векторы Будут взаимно перпендикулярны.

Рассм. векторы и ; по усл-ю задачи ,

т. е. ; ; ; .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) направл. косинусы вектора :

Задача 6 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Как на сторонах, если

Дано: ABCD и ACED – параллелограммы; Определить .

; рассм. ;

; .

Задача 7 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

Ответ: векторы Компланарны При .

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки

Возьмём в качестве направл. вектора искомой прямой В-р ;

Теперь запишем ур-е прямой , как прямой, проходящей через параллельно вектору :

или .

Задача 9 Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины и уравнения

Диагоналей

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

(), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ; выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 10 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор

Дано: пл-ть ; ; ; (см. рис). Составить ур-е пл-ти .

Рассм. и рассм. вектор ;

В-р , след., , т. е. ;

Задача 11 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А) рассм. в-р запишем канонические

ур-я прямой как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно вектору : ;

Б) рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и точку

Направл. в-р прямой есть ;

Рассм. и рассм. вектор ;

Вект. произв-е будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору :

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

,

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опр-ль матрицы : ,

след., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ;

;

; ;

, , ; реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме:

Вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. : , след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ; умножим рав-во (1) слева на матрицу : ,

; вычислим обратную матр. : находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы

И составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

;

Находим теперь вектор-решение .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно зависима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

;

общее решение данной системы ур-й:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор - столбцы имеют вид:

;

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения ; рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

В) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След., собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .