Вариант № 01

Задача 1 Разложить вектор По векторам И .

Пусть , т. е.

След. вектор .

Задача 2 Дано: Найти

.

Задача 3 Вычислить проекцию вектора На ось Вектора , Если

Вект.; рассм. ;

Вычислим

Задача 4 Дано: Найти, при каком векторы Будут взаимно перпендикулярны.

Рассм. векторы и ; по усл-ю задачи , т. е. ; .

Задача 5 Найти момент силы , приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Вычислить , если

Рассм. .

Задача 7 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

векторы Компланарны При

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ;

Ур-е прямой , проходящей через параллельно в-ру , можно записать в виде:

(канонические ур-я прямой ) или в виде:

Задача 9 Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины и уравнения

Диагоналей

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся

След. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 10 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор

Дано: пл-ть ; ; ; . Составить ур-е пл-ти .

Рассм. И рассм. вектор ; в-р , след., , т. е. ;

Задача 11 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А) рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Б) рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и точку

Направл. вектор прямой есть ; рассм. И рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно

Вектору : рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е.

Или

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1)Непосредственное вычисление:

2)разложение по 1-й строке:

.

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы.

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След. матр. - невырожденная и можно примен. формулы Крамера и вычислять обратную матр.

1)решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , ,

Где ,

; ;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

; транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу ;

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. ;

Находим теперь вектор-решение .

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

;

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

; имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера-Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений;

Объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в коорд. форме:

общее решение данной системы ур-й:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы

И вектор-столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

.

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

- собств. значения (действ. и различные ) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм. ;

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм. ;

Рассм. Пусть , тогда вектор

В) рассм. ;

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .