Вариант № 03

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

след., вектор .

Задача 2 Дано: Найти

Вычислим

Задача 3 Вычислить проекцию вектора на ось вектора , Если

Вект. ; рассм. ;

Вычислим ; ; .

Задача 4 Дано: Найти, при каком векторы Будут взаимно перпендикулярны.

По условию, ,

Т. е. .

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки , а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ; направл. косинусы вектора :

Задача 6 При каком векторы будут коллинеарны, если не коллинеарны?

; рассм.

Задача 7 При каком векторы будут компланарны?

;

Рассм.

Задача 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой, соединяющей точки

Рассм. в-р ;

Ур-е прямой , проходящей через Параллельно в-ру , можно записать в виде: (канонические ур-я прямой ) или в виде .

Задача 9 Составить уравнения сторон квадрата, если известны координаты вершины и уравнения

Диагоналей

1) Опред. коорд. т. М пересечения диагоналей квадрата , решив с-му ур-й :

;

2) Опред. коорд. вершины С квадрата из условия, что т. М - середина отрезка :

3) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. А : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю

( ), т. е. прямые, для которых вып-ся след. соотношения:

А) рассм. случай

Б) рассм. случай

4) рассм. ур-я прямых на пл-ти , проходящих через т. С : ;

Выберем из этих прямых те, которые составляют угол с диагональю т. е. прямые с угловыми коэф-тами

Задача 10 Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и имеет нормальный вектор

Пусть - искомая плоскость; рассм. произв. т.

И рассм. вектор ; ,

Т. е. ; .

Задача 11 Составить канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

А)

Рассм. в-р

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ;

Б) рассм. в-р

канонические ур-я прямой : .

Задача 12 Составить уравнение плоскости , проходящей через прямую и т..

Запишем канонические ур-я прямой : ; направл. в-р прямой есть ;

Рассм. и рассм. вектор ;

Вект. произв-е Будет нормальным вектором искомой плоскости :

Вычислим ;

Теперь запишем ур-е пл-ти Как пл-ти, проходящей через т. перпендикулярно вектору : Рассм. произв. т. И рассм. вектор ;

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. - невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ,

, , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.- невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ;

Вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим вектор-решение

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

Ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

Имеем ; так как , то по теореме Кронекера - Капелли данная система ур-й совместна, а так как , то система имеет единственное решение; выпишем решение системы в коорд. форме: