Вариант 16
1) Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика или в явном виде. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.
Разложим функцию в ряд Фурье с периодом :
, где:
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва:
2) Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию, заданную графиком.
Функцию на графике можно представить в виде
Продолжим функцию четным образом до периода:
;
;
;
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва: . Точек разрыва нет.
3) Решить задачу Штурма - Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию в ряд по собственным функциям.
; .
Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид: ,
Граничные условия:
2)
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Т. к. - тривиальное решение.
3)
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Система собственных функций где .
Проверка на ортогональность собственных функций
Система собственных функций ортогональна.
Разложим в ряд по собственным функциям :
Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,
Где
Значит
4) Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .
Решение
Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям и представимое в виде произведения.
Подставляем его в исходное уравнение
Отсюда
Следовательно: Граничные условия
ПриИмеем задачу Штурма –Лиувиля для X(x):
Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение
1) - кратный корень.
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
2) , где - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия: - тривиальное решение.
3) , - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия:
Если
При этом пусть С2=1, тогда , при .
Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:
Частное решение уравнения свободных колебаний струны:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия Значит
Разлагаем в ряд Фурье по синусам на отрезке:
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое отклонение середины струны в момент времени to =2:
, т. к.
при любом
< Предыдущая | Следующая > |
---|