Вариант 17

1) Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика или в явном виде. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.

Разложим функцию в ряд Фурье с периодом :

, где:

; ;

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва:

2) Разложить в ряд Фурье по синусам функцию, заданную графиком.

Функцию на графике можно представить в виде

Продолжаем функцию нечетным образом до периода:

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва: .

;

3) Решить задачу Штурма - Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию в ряд по собственным функциям.

Задача Штурма – Лиувилля для y(x):

Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид: ,

Граничные условия: -тривиальное решение

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Система собственных функций при ,

Где

Проверка на ортогональность собственных функций Система собственных функций ортогональна.

Разложим в ряд по собственным функциям :

Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,

Где

Значит

4) Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .

Решение

Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям и представимое в виде произведения.

Подставляем его в исходное уравнение

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

При имеем задачу Штурма – Лиувилля для X(x):

Решение ищем в виде: Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия: - тривиальное решение.

3) , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С2=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения свободных колебаний струны:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия Значит

Разлагаем в ряд Фурье по синусам на отрезке:

Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое отклонение середины струны в момент времени to =1:

;

Вариант 17

Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.

Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x, t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.

Типы краевых условий:

А) концы стержня теплоизолированы ,т. е. ,