Вариант 15

1) Разложить в ряд Фурье функцию , заданную с помощью графика или в явном виде. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.

Функцию, заданную графиком можно представить в виде:

Разложим функцию в ряд Фурье с периодом

,

Где:

;

;

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва:

2) Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию

Продолжаем функцию четным образом до периода :

;

;

Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:

2) в точках разрыва: . Точек разрыва нет.

Вариант 15

3) Решить задачу Штурма – Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию в ряд по собственным функциям.

;

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид: ,

Граничные условия: при

2)

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3)

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

;

Система собственных функций

Проверка на ортогональность собственных функций

Система собственных функций ортогональна.

Разложим в ряд по собственным функциям :

Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: ,

Где

Значит

Вариант 15

4) Решить задачу о свободном колебании струны длины м с заданными краевыми условиями ; . Вычислить приближённое отклонение середины струны при сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции . Положить .

;;

Решение

Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны , удовлетворяющее однородным граничным условиям: и начальным условиям И представимое в виде произведения.

Подставляем его в исходное уравнение

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

При получили задачу Штурма – Лиувилля для X(x): .

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия: - тривиальное решение

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3) , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С2=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения свободных колебаний струны:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия Значит

Разлагаем в ряд Фурье по синусам на промежутке :

Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое отклонение середины струны в момент времени to =1:

Вариант 15

Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.

Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x, t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.

Типы краевых условий:

А) концы стержня теплоизолированы ,т. е. ,

Б) левый конец стержня теплоизолирован, а правый поддерживается при нулевой

температуре, т. е.

В) правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой

температуре, т. е., .

Коэффициент а2 температуропроводности: медь - 11.2 ∙ 10-5;

Сталь - 1.27 ∙ 10-5;

алюминий - 8.80 ∙ 10-5.

Условия задачи

F(x) = ,

Тип краевых условий – в

Материал - сталь,

Xo = , to = 40

Решение

Ищем решение уравнения теплопроводности с начальным условием:

U(x,0) = f(x) = и граничными условиями:

В виде u(x, t) = X(x)T(t).

Подставляем его в исходное уравнение X(x)T′(t) = а2 X″(x)T(t).

Отсюда

Следовательно: Граничные условия

ПриПолучили задачу Штурма – Лиувилля для X(x): .

Решение ищем в виде:

Характеристическое уравнение

1) - кратный корень.

Общее решение имеет вид:

Граничные условия: - тривиальное решение

2) , где - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Т. к. - тривиальное решение.

3) , - действительное число

Общее решение имеет вид:

Граничные условия:

Если

При этом пусть С2=1, тогда , при .

Этим же значениям соответствуют решения уравнения , имеющие вид:

Частное решение уравнения теплопроводности:

Общее решение имеет вид:

Начальные условия =

Разлагаем f(x) в ряд по собственным функциям :

Сравнивая ряды, видим:

Общее решение представится в виде:

Приближённое значение температуры стержня в точке xo = в момент времени to = 40:

.

< Предыдущая		Следующая >