Вариант 15
1) Разложить в ряд Фурье функцию 
, заданную с помощью графика или в явном виде. Построить график суммы полученного ряда Фурье и записать 4 первых ненулевых члена этого ряда.
Функцию, заданную графиком можно представить в виде: 
Разложим функцию в ряд Фурье с периодом 
,
Где:
;
;
;
Сумма ряда 
: 1) в точках непрерывности: 
2) в точках разрыва: 
2) Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию 
Продолжаем функцию четным образом до периода 
: 
;
;
Сумма ряда : 1) в точках непрерывности:
2) в точках разрыва: . Точек разрыва нет.
Вариант 15
3) Решить задачу Штурма – Лиувилля. Найти собственные функции, проверить их ортогональность. Разложить функцию 
в ряд по собственным функциям.
; 
Решение ищем в виде: 
Характеристическое уравнение 
1)
- кратный корень.
Общее решение имеет вид: 
, 
Граничные условия: 
при 
2) 
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Т. к. 
- тривиальное решение.
3)
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
;
Система собственных функций 
Проверка на ортогональность собственных функций
Система собственных функций 
ортогональна.
Разложим в ряд по собственным функциям :
Согласно теореме Стеклова функцию можно разложить в ряд Фурье: 
,
Где 
Значит 
Вариант 15
4) Решить задачу о свободном колебании струны длины 
м с заданными краевыми условиями 
; 
. Вычислить приближённое отклонение середины струны при 
сек, используя для этого первые три ненулевых слагаемых в разложении в ряд функции 
. Положить 
.
;
; 
Решение
Будем искать решение уравнения свободных колебаний струны 
, удовлетворяющее однородным граничным условиям: 
и начальным условиям 
И представимое в виде произведения
.
Подставляем его в исходное уравнение 
Отсюда 
Следовательно: 
Граничные условия 
При 
получили задачу Штурма – Лиувилля для X(x): 
.
Решение ищем в виде: 
Характеристическое уравнение
1)
- кратный корень.
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
- тривиальное решение
2) 
, где 
- действительное число
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Т. к. 
- тривиальное решение.
3) 
, - действительное число
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
Если 
При этом пусть С2=1, тогда 
, при 
.
Этим же значениям 
соответствуют решения уравнения 
, имеющие вид:
Частное решение уравнения свободных колебаний струны:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия 
Значит 
Разлагаем 
в ряд Фурье по синусам на промежутке 
: 
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое отклонение середины струны 
в момент времени to =1:
Вариант 15
Вывести уравнение теплопроводности для тонкого ограниченного стержня, боковая поверхность которого теплоизолирована: сформулировать возможные типы краевых условий.
Определить температуру в произвольной точке х стержня в произвольный момент времени t - функцию u(x, t) в общем виде, при заданных краевых условиях, если начальные условия заданы функцией u(x,0) = f(x); решить задачу для заданной функции f(x); определить приближенно температуру стержня в точке xo в момент времени to (мин.), взяв три первых ненулевых члена ряда Фурье.
Типы краевых условий:
А) концы стержня теплоизолированы ,т. е. 
,
Б) левый конец стержня теплоизолирован, а правый поддерживается при нулевой
температуре, т. е. 
В) правый конец стержня теплоизолирован, а левый поддерживается при нулевой
температуре, т. е.
, 
.
Коэффициент а2 температуропроводности: медь - 11.2 ∙ 10-5;
Сталь - 1.27 ∙ 10-5;
алюминий - 8.80 ∙ 10-5.
Условия задачи
F(x) = 
, 
Тип краевых условий – в
Материал - сталь,
Xo = 
, to = 40
Решение
Ищем решение уравнения теплопроводности 
с начальным условием:
U(x,0) = f(x) = 
и граничными условиями: 
В виде u(x, t) = X(x)T(t).
Подставляем его в исходное уравнение X(x)T′(t) = а2 X″(x)T(t).
Отсюда 
Следовательно: 
Граничные условия 
ПриПолучили задачу Штурма – Лиувилля для X(x): 
.
Решение ищем в виде:
Характеристическое уравнение 
1)
- кратный корень.
Общее решение имеет вид: 
Граничные условия: 
- тривиальное решение
2) 
, где 
- действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия: 
Т. к. 
- тривиальное решение.
3)
, - действительное число
Общее решение имеет вид:
Граничные условия: 
Если 
При этом пусть С2=1, тогда 
, при 
.
Этим же значениям соответствуют решения уравнения 
, имеющие вид:
Частное решение уравнения теплопроводности:
Общее решение имеет вид:
Начальные условия 
= 
Разлагаем f(x) в ряд по собственным функциям 
: 
Сравнивая ряды, видим:
Общее решение представится в виде:
Приближённое значение температуры стержня в точке xo = в момент времени to = 40:
.